∈lb一致有界,由Abel判别法,可知厂r"p(o关于x在ab 上一致收敛 所以「r2f(0)h关于Z在a上一致收敛 4.讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性: (1)∫mc02d,在y22>0 (2)「e)a,在(I)a<a<b;(Il-∞<a<+∞; (3)「xn2x,在(I)p≥p>0;(I)p>0; (4)[ e- sin xdx,在(I)a≥an>0;(I)a>0 解(1)∫m=。0+, 对于[,由于1,[在收敛,由 Weierstrass判 别法,可知∫。关于y一致收敛。 对于∫要a,由于2,即关于yD+ 致有界,以及单调,当x→+时,关于ye[+x)一致趋于 零,由 Dirichlet 3判别法,可知∫"关于y∈U0+)一致收敛, 所以∫。。关于y∈n+)一致收敛 (2)(I)当a<a<b,取A>0,使(a,b)[-,4]。则y≥A, sc时计,而∫e与∫c时收敛,由W eierstrass 判 别法的证明,可知反常积分c与∫h在ae(ab)上一致 收敛。所以c在a∈(ab)上一致收敛 (Ⅱ)当-<a<+,对于。ed,取s=>0,4>0,取 A=n>A4,”=n+1,a=an=n,则当n充分大时, Jc=h=如=, 由 Cauchy收敛准则,「"e在a∈(-+)上不一致收敛。同理 °e)ak在a∈(-+)上也不一致收敛。所以∫e在λ ∈[ , a b]一致有界，由 Abel 判别法，可知∫ 关于 +∞ − 1 t [t f (t)]dt λ b b λ 在 上一致收敛。 [a,b] 所以∫ 关于 +∞ 0 t f (t)dt λ λ 在[a,b]上一致收敛。 4. 讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性： （1）∫ +∞ 0 cos dx x xy ，在 y ≥ y0 > 0； （2）∫ ，在（I） +∞ −∞ − − e dx x 2 ( α ) a <α < b；（II）− ∞ < α < +∞ ； （3）∫ − ，在（I） ；（II） ； 1 0 1 2 x ln xdx p p ≥ p0 > 0 p > 0 （4）∫ ，在（I） +∞ − 0 e sin xdx αx α ≥ α 0 > 0；（II）α > 0； 解（1）∫ +∞ 0 cos dx x xy ∫ = 1 0 cos dx x xy ∫ +∞ + 1 cos dx x xy ， 对于∫ 1 0 cos dx x xy ，由于 x x cos xy 1 ≤ ，∫ 1 0 x dx 收敛，由 Weierstrass 判 别法，可知∫ 1 0 cos dx x xy 关于 y 一致收敛。 对于 1 cos xy dx x +∞ ∫ ，由于 0 1 2 cos y xydx A ≤ ∫ ，即 关于 一致有界，以及 ∫ A xydx 1 cos [ , ) y ∈ y0 +∞ x 1 单调，当 x → +∞ 时， x 1 关于 [ , ) y ∈ y0 +∞ 一致趋于 零，由 Dirichlet 判别法，可知∫ +∞ 1 cos dx x xy 关于 [ , ) y ∈ y0 +∞ 一致收敛， 所以∫ +∞ 0 cos dx x xy 关于 [ , ) y ∈ y0 +∞ 一致收敛。 （ 2 ）（ I ） 当 a <α < b ， 取 A > 0 ， 使 (a,b) ⊂ [−A, A] 。 则 ∀ x ≥ A ， 2 2 ( x ) ( x A) e e − − − − ≤ α ，而 2 ( ) A x A e d − − − ∫−∞ x与 2 ( ) x A A e +∞ − − ∫ dx x x 收敛，由 Weierstrass 判 别法的证明，可知反常积分 与 在 0 2 ( ) x e d − −α ∫−∞ 2 ( ) 0 x e d α +∞ − − ∫ α ∈ (a,b) 上一致 收敛。所以∫ 在 +∞ −∞ − − e dx x 2 ( α ) α ∈ (a,b) 上一致收敛。 （II）当 − ∞ < α < +∞ ，对于 ∫ ，取 +∞ − − 0 ( ) 2 e dx x α 0 1 0 e ε = > ， ，取 ， 0 ∀A > 0 0 A n ′ ′ = > A , 1 A′ = n + n α =α = n ，则当n充分大时， 2 1 2 ( ) ( ) n A n x x A n e dx e dx α α ′′ + − − − − ′ = = ∫ ∫ 1 2 0 0 x 1 e dx e ε − > = ∫ ， 由 Cauchy 收敛准则，∫ 在 +∞ − − 0 ( ) 2 e dx x α α ∈ (−∞,+∞)上不一致收敛。同理 0 2 ( ) x e− −α ∫−∞ dx 在 α ∈ (−∞,+∞) 上也不一致收敛。所以 ∫ 在 +∞ −∞ − − e dx x 2 ( α ) 3