2010/9/29 多元正态分布的性质 多元正态分布的性质 4.边缘分布和条件分布的正态性 5.不相关性等价于独立性 ■多元正态分布的边缘分布和条件分布仍然是正 ■x,和y相互独立：pxx)=pcp): 态分布： ■和不相关：Exx=Ex]ELx小： ■如多元正态分布的任意两个分量互不相关，则 它们一定独立。 ■如多元正态随机向量x的那方差解Σ是对角阵， p(x,)~N(4,oi) 则x各分量之间是相互独立物正态分相随机变 量。 →= 0…2 →RK0-i 多元正态分布的性质 多元正态分布的性质 6.线性变换的正态性 6.线性变换的正态性 8 多元正态分布的随机向量的线性变换仍然是多 ■白化变换 元正态分布的随机向量，即 A=DA-→py)-N(A4,Ig p(x)~N(u,) 其中，矩阵Φ的列向量是Σ的正交特征向量，矩 y=A'x,A∈ 阵A由Σ相应的特征根构成的对角矩阵。 =py)~N(A'μ，A'Σ ■线性组合的正态性 口存在一个线性变换A,使变换后的协方差矩阵 口当k=1时（即A是d维向量a,则y=ax是一个 AΣA为对角矩阵：即在某一新坐标系统中，可 标量，是x的线性组合 以做到使各分量之间相互独立。 py)-N(au,a'Σa 多元正态分布的性质 多元正态分布的性质 MA'uI 1. 参数μ和工完全决定分布： 2. 等概率密度点的轨迹为超椭球面： 3. 不相关性等价于独立性： 4. 边缘分布和条件分布的正态性： 5.线性变换的正态性： MARAEA) 口白化变换： 口线性组合的正态性。 22010/9/29 2 7 多元正态分布的性质 4. 边缘分布和条件分布的正态性  多元正态分布的边缘分布和条件分布仍然是正 态分布； 8 2 2 11 2 1 () ( ) 0, 0 0 ij nn n i i p px  i j                   x     多元正态分布的性质 5. 不相关性等价于独立性  xi 和 xj相互独立：p(xi ,xj )＝p(xi )p(xj )；  xi 和 xj不相关： E[xi xj ]＝E[xi ]·E[xj ]；  如多元正态分布的任意两个分量互不相关，则 它们一定独立。  如多元正态随机向量 x 的协方差阵 Σ 是对角阵， 则 x 各分量之间是相互独立的正态分布随机变 量。 9 多元正态分布的性质 6. 线性变换的正态性  多元正态分布的随机向量的线性变换仍然是多 元正态分布的随机向量，即  存在一个线性变换 A，使变换后的协方差矩阵 ATΣA 为对角矩阵；即在某一新坐标系统中，可 以做到使各分量之间相互独立。 ( ) ~ ( , ); , ( ) ~ ( ) y A μ A ΣA y A x A x μ,Σ T T T d k p N p N     10 多元正态分布的性质 6. 线性变换的正态性  白化变换 其中，矩阵Φ的列向量是Σ的正交特征向量，矩 阵Λ由Σ相应的特征根构成的对角矩阵。  线性组合的正态性  当 k=1 时(即A 是 d 维向量 a)，则 y=aTx 是一个 标量，是 x 的线性组合 1 2 ( ) ~ ( , ); T w w p N  A   ΦΛ y A μ I ( ) ~ (a μ,a Σa); T T p y N 11 多元正态分布的性质 12 多元正态分布的性质 1. 参数 μ 和 Σ 完全决定分布； 2. 等概率密度点的轨迹为超椭球面； 3. 不相关性等价于独立性； 4. 边缘分布和条件分布的正态性； 5. 线性变换的正态性；  白化变换；  线性组合的正态性