2010/9/29 多元正态分布 口概率密度函数 第二章贝叶斯决策理论 2a网cxp(←x-P-k-》. 1 p(x)= 2010.09.29 其中： x=x,2,…,x是d维列向量(T表示向量的转置)： μ=[4,4，…，]是d维均值向量： Σ是d×d协方差矩阵： 卫是Σ的逆矩阵，四是的行列式。 多元正态分布 多元正态分布的性质 口均值u和协方差矩阵Σ 1.参数μ和工对分布具有决定性 μ=E[x=「xp(x)d p(x)~N(μ， ■多元正态分布由d+d(d+1)2个参数完全确定。 三=x-)-μ]=∫(x-)-'px)k 4=ELx]=「xPx) 2.分布的离散程度 o=Ex-4x,-4] ■由参数四2决定，与单变量时由标准差。决定 相一致： =∬区-4x-4px,x本 巴肿=广 多元正态分布的性质 多元正态分布的性质 3.等密度点的轨迹为超椭球面 3. 等密度点的轨迹为超椭球面 (-)T(K-=常数： ■马氏距离(Mahalanobis distance:随机向量x偏 离均值向量μ的距离 ■超椭球面的主轴方向由协方差矩阵的特征向量 决定，各主轴的长度与相应的特征值成正比。 r=√-m)ΣK-m: 口确定未知样本集和已知样本集的相似性：考虑各 特性间的联系：与尺度无关： 口衡量两个服从同一分布且其协方差矩阵为Σ的随 机变量的差异程度。 12010/9/29 1 第二章 贝叶斯决策理论 2010.09.29 2 多元正态分布  概率密度函数 1 1 1/2 2 /2 1 2 1 2 1 1 ( ) exp( ( ) ( )), (2 ) [ , , , ] [ , , , ] T d T d T d p xx x d T d d d            x x μ Σ x μ Σ x μ Σ Σ Σ ΣΣ   其中： 是 维列向量( 表示向量的转置)； 是 维均值向量； 是 协方差矩阵； 是 的逆矩阵， 是 的行列式。 3 多元正态分布  均值μ和协方差矩阵Σ [] () ; [( ) ] ( ( ) ; T T E pd E p d       μ x xxx Σ x - μ)(x - μ x - μ)(x - μ) xx 2 [] () [( )( ) ] ( )( ) ( , ) . i i i ii T ij i i j j T i i j j ij ij E x x p x dx Ex x x x p x x dx dx              4 多元正态分布的性质 1. 参数μ和 Σ对分布具有决定性  多元正态分布由 d+d(d+1)/2 个参数完全确定。 2. 分布的离散程度  由参数 |Σ| 1/2 决定，与单变量时由标准差 σ 决定 相一致： p(x) ~ N(μ,Σ); 12 12 1 || . d j j   Σ   5 多元正态分布的性质 3. 等密度点的轨迹为超椭球面  超椭球面的主轴方向由协方差矩阵的特征向量 决定，各主轴的长度与相应的特征值成正比。    T 1 (x μ) Σ (x μ) 常数; 6 多元正态分布的性质 3. 等密度点的轨迹为超椭球面  马氏距离(Mahalanobis distance)：随机向量 x 偏 离均值向量 μ 的距离  确定未知样本集和已知样本集的相似性：考虑各 特性间的联系；与尺度无关；  衡量两个服从同一分布且其协方差矩阵为Σ的随 机变量的差异程度。 r ;    T 1 (x μ) Σ (x μ)