第章群、环和域 证明:设<G,*>为由a所生成的循环半群,比,y∈G,则 x-a, y 于是 x米y=m=am+n=+m=am=1米x 即<G*>是可换半群 72群与阿贝尔群 72.1群的定义和性质 定义72.1设<G,*是代数系统,其中,G是非空集合 *是G上二元运算。如果 (1)运算*在G上是可结合的 (2)运算*的单位元e∈G (3)x∈G,有x1eG 则称<G*为群。有时也可将群<G*>简称为群G 根据定义,广群是一个非空集合和一个定义在非空集 的二元运算组成;半群是一个具有结合运算的广群;独异点 是具有幺元的半群;群是每个元素都有逆元的独异点。 返回章目录第7章 群、环和域 证明：设<G,*>为由a所生成的循环半群，x, yG，则 x=am ，y=an ，于是 x*y=am*a n=am+n=an+m =an*a m=y*x 即<G, *>是可换半群。 7.2群与阿贝尔群 7.2.1群的定义和性质 定义7.2.1 设G,*是代数系统，其中，G是非空集合， *是G上二元运算。如果 ⑴运算*在G上是可结合的。 ⑵运算*的单位元eG。 ⑶xG，有x –1G。 则称G, *为群。有时也可将群G, *简称为群G。 根据定义，广群是一个非空集合和一个定义在非空集合 的二元运算组成；半群是一个具有结合运算的广群；独异点 是具有幺元的半群；群是每个元素都有逆元的独异点。 返回章目录