·380· 工程科学学报，第37卷，第3期 成了三个高通滤波器G。(z)、G(z)和G,(z),并随后进 点个数，且N≥K(i=0,1,2),并有(1+z)(1+z1+ 行3倍的采样.如果假设图2中的三个高通滤波器 z2)不能整除Q(z). G,(z)(i=0,1,2)满足 如果要得到冲击响应最短的低通滤波器，分数阶 go(n-2）=g,(n-1)=g2(n), (1) 过完备小波低通滤波器长度还应该满足下面的条件： 则图1和图2在本质上是相同的，其中g:(n)为高通滤 Lg≥3N+2K-1. (7) 波器G,()的冲激响应.因此，也同样没有满足完全平 式中，K=min(K,K,K2). 移不变的有限冲击响应解.但是，实际上图2对滤波 因此，由式(5)和(7)可知，为了得到阶次（滤波器 器组的限制和要求比图1少一些，是可以用有限冲击 最短)最低并且具有线性相位特性的低通滤波器 响应滤波器实现近似解的.下面给出图2中的滤波器 H(z),式(5)中的Q(z)因子应该是对称的，并且长度 组的完全可重构条件 应该小于2K-1;也就是低通滤波器的长度应该至少为 由文献2]知道，图2中的滤波器组满足的完全 3N+2K-1,从而使得其最短支集长度为3N+2K-1. 可重构条件为 下面给出具有线性相位特性以及最小长度的低通 H(z1)H(z)+H(-z)H(-z)+ 滤波器的构造方法.此处考虑N为奇数的情况，N为 2c,e)c,)=6, (2) 偶数时同理可得. 首先对于给定的N和K,假设低通滤波器H(z)是 H(2)H(Wz）+H(-z)H(-Wz）+ 对称的并且其冲激响应h(n)长度为L,其中L≥3N+ 2盒cG(=0. (3) 2K-1.令z=e“,那么H(z)可以表示成w的多项式. 为了求解H(z),首先进行下述转换： H(a)H(Wa)+H(-)H(-Wa)+ 2gce-y6,(=0 x=(e+2+》=im号=1-co).(8) 4 2 (4) 进而有 式中，W=e2m 构造图2中的滤波器组，并对其特性加以改进，使 1、4 =号+1+=宁1++).9) 得图2中的滤波器组具有半对称性并且满足近似平移 不变.首先，提出一种构造具有线性相位特性（即对称 1-(e+2+=宁1+)1+以. 性)的低通滤波器的方法.其次，在此基础上利用谱分 (10) 解求出对应的高通滤波器。本文对已有方法进行了改 因子1+z1可以用x表示： 进，使用拓普利兹矩阵分解方法，计算方法简单，因此 1+z1=2c0s%=2√1-x (11) 有效地提高了计算效率. 在进行一位平移后，1+z+z2也可以用x表示： 2滤波器的构造 +1+=4(层- (12) 2.1对称低通滤波器的构造 将H(z)转换成x的表达式T(x),其中A(x)对应 离散多项式信号由低通滤波器H(z)处理之后，通 Q(z),有 常情况下应该能够保留离散多项式信号中的阶次小于 或等于V-1的部分，而阶次大于N的部分可以由高 T=1-)(子-)广A. (13) 通滤波器G(z)(i=0,1,2)消除，即离散多项式信号 由z和x的零点对应关系，可以得到T(x)有下列等价 中阶次为K(i=0,1,2)的部分.因此，严格采样正交 关系成立： 小波系统应该满足N=K(i=0,1,2)的条件，而对于 T(0)=1: 分数阶过完备小波系统，为了获得更高阶的消失矩，通 T(0)=0,(i=1,2,,K-1): 常要求N≥K(i=0,1,2).基于此条件和图2中的滤 T(1）=0,(i=0,1/2,…,N/2-1): 波器组结构，本文中的32阶过完备小波低通滤波器 T0(3/4)=0,(i=0,1,…,N-1). 和高通滤波器组可以写成如下形式： 考虑H(z)在z=1处的特性，即T(x)在x=0处的特 H(z)=(1+z)(1+z1+z2)Q(z),(5) 性，有下式成立： G,(z)=(1-z)V(z),i=0,1,2. (6) 1-T(x)=B(x)x* (14) 式中，N是低通滤波器在点z=-l、z=e2=小和z=e4m 综合式(13)和(14)，得到 处的零点个数，因此可以保留多项式中阶次小于等于 W-1部分：K(i=0,1,2)为高通滤波器在点z=1处零 1-)(子-)广A)+B()=1,（15)工程科学学报，第 37 卷，第 3 期 成了三个高通滤波器 G0 ( z) 、G1 ( z) 和 G2 ( z) ，并随后进 行 3 倍的采样． 如果假设图 2 中的三个高通滤波器 Gi ( z) ( i = 0，1，2) 满足 g0 ( n － 2) = g1 ( n － 1) = g2 ( n) ， ( 1) 则图1 和图2 在本质上是相同的，其中 gi ( n) 为高通滤 波器 Gi ( z) 的冲激响应． 因此，也同样没有满足完全平 移不变的有限冲击响应解． 但是，实际上图 2 对滤波 器组的限制和要求比图 1 少一些，是可以用有限冲击 响应滤波器实现近似解的． 下面给出图 2 中的滤波器 组的完全可重构条件． 由文献［2］知道，图 2 中的滤波器组满足的完全 可重构条件为 H( z － 1 ) H( z) + H( － z － 1 ) H( － z) + 2 ∑ 2 i = 0 Gi ( z － 2 ) Gi ( z 2 ) = 6， ( 2) H( z － 1 ) H( Wz) + H( － z － 1 ) H( － Wz) + 2 ∑ 2 i = 0 Gi ( z － 2 ) Gi ( W2 z 2 ) = 0， ( 3) H( z － 1 ) H( W2 z) + H( － z － 1 ) H( － W2 z) + 2 ∑ 2 i = 0 Gi ( z － 2 ) Gi ( Wz2 ) = 0． ( 4) 式中，W = e － 2π/3 ． 构造图 2 中的滤波器组，并对其特性加以改进，使 得图 2 中的滤波器组具有半对称性并且满足近似平移 不变． 首先，提出一种构造具有线性相位特性( 即对称 性) 的低通滤波器的方法． 其次，在此基础上利用谱分 解求出对应的高通滤波器． 本文对已有方法进行了改 进，使用拓普利兹矩阵分解方法，计算方法简单，因此 有效地提高了计算效率． 2 滤波器的构造 2. 1 对称低通滤波器的构造 离散多项式信号由低通滤波器 H( z) 处理之后，通 常情况下应该能够保留离散多项式信号中的阶次小于 或等于 N － 1 的部分，而阶次大于 N 的部分可以由高 通滤波器 Gi ( z) ( i = 0，1，2) 消除，即离散多项式信号 中阶次为 Ki ( i = 0，1，2) 的部分． 因此，严格采样正交 小波系统应该满足 N = Ki ( i = 0，1，2) 的条件，而对于 分数阶过完备小波系统，为了获得更高阶的消失矩，通 常要求 N≥Ki ( i = 0，1，2) ． 基于此条件和图 2 中的滤 波器组结构，本文中的 3 /2 阶过完备小波低通滤波器 和高通滤波器组可以写成如下形式: H( z) = ( 1 + z － 1 ) N ( 1 + z － 1 + z － 2 ) N Q( z) ， ( 5) Gi ( z) = ( 1 － z － 1 ) Ki Vi ( z) ，i = 0，1，2． ( 6) 式中，N 是低通滤波器在点 z = － 1、z = ei2π/3 和 z = ei4π/3 处的零点个数，因此可以保留多项式中阶次小于等于 N － 1 部分; Ki ( i = 0，1，2) 为高通滤波器在点 z = 1 处零 点个数，且 N≥Ki ( i = 0，1，2) ，并有( 1 + z － 1 ) ( 1 + z － 1 + z － 2 ) 不能整除 Q( z) ． 如果要得到冲击响应最短的低通滤波器，分数阶 过完备小波低通滤波器长度还应该满足下面的条件: LH≥3N + 2K － 1． ( 7) 式中，K = min( K0，K1，K2 ) ． 因此，由式( 5) 和( 7) 可知，为了得到阶次( 滤波器 最短) 最低并且具有线性相位特性的低通滤波器 H( z) ，式( 5) 中的 Q( z) 因子应该是对称的，并且长度 应该小于 2K － 1; 也就是低通滤波器的长度应该至少为 3N + 2K － 1，从而使得其最短支集长度为 3N + 2K － 1． 下面给出具有线性相位特性以及最小长度的低通 滤波器的构造方法． 此处考虑 N 为奇数的情况，N 为 偶数时同理可得． 首先对于给定的 N 和 K，假设低通滤波器 H( z) 是 对称的并且其冲激响应 h( n) 长度为 L，其中 L≥3N + 2K － 1． 令 z = eiω ，那么 H( z) 可以表示成 ω 的多项式． 为了求解 H( z) ，首先进行下述转换: x = 1 4 ( z － 1 + 2 + z) = sin2 ω 2 = 1 2 ( 1 － cosω) ． ( 8) 进而有 1 － 4 3 x = 1 3 ( z － 1 + 1 + z) = 1 3 z( 1 + z － 1 + z － 2 ) ，( 9) 1 － x = 1 4 ( z － 1 + 2 + z) = 1 4 ( 1 + z － 1 ) ( 1 + z) ． ( 10) 因子 1 + z － 1可以用 x 表示: 1 + z － 1 = 2cos ω 2 = 2 1 － 槡 x． ( 11) 在进行一位平移后，1 + z － 1 + z － 2也可以用 x 表示: z － 1 + 1 + z ( = 4 3 4 － ) x ． ( 12) 将 H( z) 转换 成 x 的 表 达 式 T ( x) ，其中 A ( x) 对 应 Q( z) ，有 T( x) = ( 1 － x) N/ ( 2 3 4 － ) x N A( x) ． ( 13) 由 z 和 x 的零点对应关系，可以得到 T( x) 有下列等价 关系成立: T( 0) = 1; T( i) ( 0) = 0，( i = 1，2，…，K － 1) ; T( i) ( 1) = 0，( i = 0，1 /2，…，N /2 － 1) ; T( i) ( 3 /4) = 0，( i = 0，1，…，N － 1) ． 考虑 H( z) 在 z = 1 处的特性，即 T( x) 在 x = 0 处的特 性，有下式成立: 1 － T( x) = B( x) xK ． ( 14) 综合式( 13) 和( 14) ，得到 ( 1 － x) N/ ( 2 3 4 － ) x N A( x) + B( x) xK = 1， ( 15) · 083 ·