沈政伟等：分数阶对称平移不变过完备小波的构造及其在轴承故障诊断中的应用 ·379· 性.在信号处理中，系统具有线性相位特性是必要的， 非常繁琐，除了需要用计算复杂度高的矩阵谱因式分 因为这样的系统非常适合处理已经发生平移或者变形 解方法，还需要在此基础上对仿酉矩阵(paraunitary 的信号.本文在对分数阶过完备小波变换理论研究的 matrix)进行频率响应修正.本文在此基础上，提出了 基础上，提出了一种分数阶对称过完备小波低通滤波 一种改进的分数阶对称平移不变过完备小波的构造方 器的构造方法，并给出了相应的构造表达式：然后利用 法，计算方法简单直观，并且构造的分数阶小波具有近 更为简捷的拓普利兹(Toeplitz)矩阵分解法，求解出对 似对称性、平移不变性及较高的消失矩 应的近似平移不变的高通滤波器，从而完成分数阶的 设山()(1∈R)是一小波函数，信号与这个小波函 具有近似对称性（平移不变性）的小波滤波器组的设 数的平移量b以及a倍尺度因子伸缩量√a地(al-b)的 计：最后，将构造出的小波变换应用于滚动轴承故障检 卷积就是连续小波变换，其中a,b∈R.将参数a,b离 测，通过实验比较（与dN系列小波比较）发现由于具 散化{2“，k}。:z即可得到严格采样的离散小波变换； 有对称、平移不变以及较高消失矩等良好特性，本文提 但是，这种小波变换不具有平移不变性.分数阶过完 出的分数阶对称平移不变过完备小波对故障的监测效 备小波√a山(at-b)的参数a和b离散化为{g/p",spk/ 果更为理想 q}。,:z,其中p,qs∈Z,经过这种离散化后的小波伸缩 滚动轴承是一般机械设备中非常重要的零部件， 由于在使用过程中经常会承受较高的冲击负荷，因此 因子是分数阶的，即为gp,并且具有上1 s q/p-1 倍冗余 容易产生磨损（监测信号中有噪声）或者轴承断裂等 度，从而使得该小波变换是分数阶的且是过完备的，这种 现象.当滚动轴承发生故障时，往往会引发高频冲击 过完备性质可以保证构造出的小波具有平移不变性 振动四，所以对故障振动信号高频部分的研究在轴承 本文中取q=3、p=2和s=1的情况为例进行讨 故障检测中显得尤为重要.小波分析技术由于具备良 论（其他情况类似），这是一个3/2阶的过完备小波变 好的时频局部分析能力，在信号处理方面已经被广泛 换.理想的3/2阶过完备小波变换的分解与重构过程 地应用：而基于小波技术的轴承故障检测-)也同样 可以用图1表示，其中H(z)是低通滤波器，G(z)是高 取得了良好的效果.但是，这些方法都没有考虑信号 通滤波器组. 自身带有延迟或者发生偏移的情况.本文利用构造的 具有对称性的分数阶过完备小波变换，分别对某大型风 2 Me) 12 机轴承故障信号以及电主轴轴承故障信号进行监测与诊 CE Ge) 断.实验结果表明，与其他小波变换处理的结果比较，本 图1理想的32阶过完备滤波器组 文构造的小波变换能更准确的监测出故障信号 Fig.1 Ideal 3/2 overcomplete filter bank 1分数阶过完备小波变换 从图中可以看出，信号通过低通滤波器分支是3/ 2倍采样，而通过高通滤波器没有进行采样.因此，整 分数阶离散小波变换作为对严格采样正交小波 个滤波器组也只能是一个近似平移不变的的滤波器 变换的一种改进，能更加有效地在时频域分析信号：它 组，因为只有高通部分是平移不变的.之所以说该滤 虽然具有更高的频域分辨率，但是时域分辨率却不够 波器组是理想的是因为除了一组特解（无实际意义） 好，并且也不具备对称性，从而影响了信号分析的精 外，图1中的滤波器组是不可能利用有限冲击响应 度.基于此，文献]首先提出了一种基于迭代法的分 (finite impulse response,FIR)滤波器来实现完全可重 数阶离散小波变换的构造方法，证明了随着分数阶小 构的(perfect reconstruction).然而，实际的信号处理中 波函数的正则性（光滑性）的提高，由平移导致的误差 需要满足完全可重构并且是有限冲击响应的滤波器 可以达到任意小.在文献0]中，作者使用Grobner基 组.因此，需要对图1中的滤波器组进行改进.基于 方法构造了分数阶正交滤波器组，但是该方法计算较 此，文献2]提出了如图2所示的滤波器组 耗时，且仅能求解一些简单实例，之后作者又利用多项 从图2中看出，图1中的高通滤波器G(z)被分解 式矩阵谱因式分解方法求出了分数阶小波紧框架.基 于之前的相关研究⑧四，文献2]详细介绍了分数阶 2 H(e) 过完备小波变换的特性，并与分数阶严格采样离散小 G日目 3→3 G) 波变换进行了详细对比：且在给定消失矩的情况下，通 过矩阵谱因式分解求出了具有最小长度的完全可重构 G同 03→3 G, 的滤波器。然而，文献2]在构造低通滤波器时没有考 3→③G) 虑对称性等滤波器特性，并且整个滤波器组远未达到 图2改进的3/2阶过完备滤波器组4 平移不变的要求：另外，在构造相应高通滤波器时方法 Fig.2 Improved 3/2 overcomplete filter bank沈政伟等: 分数阶对称平移不变过完备小波的构造及其在轴承故障诊断中的应用 性． 在信号处理中，系统具有线性相位特性是必要的， 因为这样的系统非常适合处理已经发生平移或者变形 的信号． 本文在对分数阶过完备小波变换理论研究的 基础上，提出了一种分数阶对称过完备小波低通滤波 器的构造方法，并给出了相应的构造表达式; 然后利用 更为简捷的拓普利兹( Toeplitz) 矩阵分解法，求解出对 应的近似平移不变的高通滤波器，从而完成分数阶的 具有近似对称性( 平移不变性) 的小波滤波器组的设 计; 最后，将构造出的小波变换应用于滚动轴承故障检 测，通过实验比较( 与 dbN 系列小波比较) 发现由于具 有对称、平移不变以及较高消失矩等良好特性，本文提 出的分数阶对称平移不变过完备小波对故障的监测效 果更为理想． 滚动轴承是一般机械设备中非常重要的零部件， 由于在使用过程中经常会承受较高的冲击负荷，因此 容易产生磨损( 监测信号中有噪声) 或者轴承断裂等 现象． 当滚动轴承发生故障时，往往会引发高频冲击 振动［3］，所以对故障振动信号高频部分的研究在轴承 故障检测中显得尤为重要． 小波分析技术由于具备良 好的时频局部分析能力，在信号处理方面已经被广泛 地应用; 而基于小波技术的轴承故障检测［3--7］也同样 取得了良好的效果． 但是，这些方法都没有考虑信号 自身带有延迟或者发生偏移的情况． 本文利用构造的 具有对称性的分数阶过完备小波变换，分别对某大型风 机轴承故障信号以及电主轴轴承故障信号进行监测与诊 断． 实验结果表明，与其他小波变换处理的结果比较，本 文构造的小波变换能更准确的监测出故障信号． 1 分数阶过完备小波变换 分数阶离散小波变换［8］作为对严格采样正交小波 变换的一种改进，能更加有效地在时频域分析信号; 它 虽然具有更高的频域分辨率，但是时域分辨率却不够 好，并且也不具备对称性，从而影响了信号分析的精 度． 基于此，文献［9］首先提出了一种基于迭代法的分 数阶离散小波变换的构造方法，证明了随着分数阶小 波函数的正则性( 光滑性) 的提高，由平移导致的误差 可以达到任意小． 在文献［10］中，作者使用 Grobner 基 方法构造了分数阶正交滤波器组，但是该方法计算较 耗时，且仅能求解一些简单实例，之后作者又利用多项 式矩阵谱因式分解方法求出了分数阶小波紧框架． 基 于之前的相关研究［8--12］，文献［2］详细介绍了分数阶 过完备小波变换的特性，并与分数阶严格采样离散小 波变换进行了详细对比; 且在给定消失矩的情况下，通 过矩阵谱因式分解求出了具有最小长度的完全可重构 的滤波器． 然而，文献［2］在构造低通滤波器时没有考 虑对称性等滤波器特性，并且整个滤波器组远未达到 平移不变的要求; 另外，在构造相应高通滤波器时方法 非常繁琐，除了需要用计算复杂度高的矩阵谱因式分 解方法，还 需 要 在 此 基 础 上 对 仿 酉 矩 阵( paraunitary matrix) 进行频率响应修正． 本文在此基础上，提出了 一种改进的分数阶对称平移不变过完备小波的构造方 法，计算方法简单直观，并且构造的分数阶小波具有近 似对称性、平移不变性及较高的消失矩． 设 ψ( t) ( t∈Ｒ) 是一小波函数，信号与这个小波函 数的平移量 b 以及 a 倍尺度因子伸缩量槡aψ( at － b) 的 卷积就是连续小波变换，其中 a，b∈Ｒ． 将参数 a，b 离 散化{ 2n ，k} n，k∈Z即可得到严格采样的离散小波变换; 但是，这种小波变换不具有平移不变性． 分数阶过完 备小波槡aψ( at － b) 的参数 a 和 b 离散化为{ qn / pn ，spk / q} n，k∈Z，其中 p，q，s∈Z，经过这种离散化后的小波伸缩 因子是分数阶的，即为 q n / pn ，并且具有 1 s 1 q/ p － 1 倍冗余 度，从而使得该小波变换是分数阶的且是过完备的，这种 过完备性质可以保证构造出的小波具有平移不变性． 本文中取 q = 3、p = 2 和 s = 1 的情况为例进行讨 论( 其他情况类似) ，这是一个 3 /2 阶的过完备小波变 换． 理想的 3 /2 阶过完备小波变换的分解与重构过程 可以用图 1 表示，其中 H( z) 是低通滤波器，G( z) 是高 通滤波器组． 图 1 理想的 3 /2 阶过完备滤波器组 Fig． 1 Ideal 3 /2 overcomplete filter bank 图 2 改进的 3 /2 阶过完备滤波器组［2］ Fig． 2 Improved 3 /2 overcomplete filter bank［2］ 从图中可以看出，信号通过低通滤波器分支是 3 / 2 倍采样，而通过高通滤波器没有进行采样． 因此，整 个滤波器组也只能是一个近似平移不变的的滤波器 组，因为只有高通部分是平移不变的． 之所以说该滤 波器组是理想的是因为除了一组特解( 无实际意义) 外，图 1 中的滤波器组是不可能利用有限冲击响应 ( finite impulse response，FIＲ) 滤波器来实现完全可重 构的( perfect reconstruction) ． 然而，实际的信号处理中 需要满足完全可重构并且是有限冲击响应的滤波器 组． 因此，需要对图 1 中的滤波器组进行改进． 基于 此，文献［2］提出了如图 2 所示的滤波器组． 从图 2 中看出，图 1 中的高通滤波器 G( z) 被分解 · 973 ·