12最优性条件 至可行方向也即“这个方向还没有到边界”，下降方向也脚“∫沿此方向局部下降” 定理19儿何必要条件) 对约束最优化问题minre3fx,x'是问题的局部最优解，则F(x',S)nDo(x',S)=a。 当f可微时，D,f)CD(,D,此x是问题的局部最优解可推出F,S)nD(,S)= 明根据定义，若F(r*.S)∩D(x*,S)≠@，假设其中有方向d,取可行方向的6与下降方向的6的 最小值为0，则f(x*+d),入∈(0,6)中的每个点都是比f(x)更小的可行点，矛盾。利用一阶泰勒展 开与前文无约束最优化时相同可证D(x,f)CDo(x*,f),于是即得可微时结论。 下面，我们针对具体的可行域进行更细节的讨论。式(12)一般可以更进一步写为如下形式： min f() s.t.g()≥0i=1,,m (1.3) h(c)=0j=1..,l 比起式(12)，式(13)中的指标集合成为了有限集合，之后讨论的也基本是这种情况。此时，上方 的必要条件可以进一步细化： 命题110儿何必要条件-函数约束 记I()={9()=0,也即对不等式约束取等的指标集合。在式(1.3)中定义 Dy(r)={dl vf()Td<o) Fo(z)={d|Vgu(r)Td>0.ViEI(a)} Fh(z)={d|Vhj()Td=0,vj} 若x*为局部最优解，了，h,i∈T(x)与所有在x°可微，h,iI(x)在x'连续，且所有 Vh(),j=1,,l线性无关，则有 Di()nF()nEn(")=3 这个结论的证明需要一些精细而复杂的微分几何操作，此处略过。从这个定理出发，即可以得到 重要的Fiz-John条件 定理1.11下itz-John必要条件) 若x*为式(13)中的可行点，记I(x)={i|g(x)=0}. 连续性要求：，9，iI()与所有h在x可微，9，i生I()在x连续。 在满足上述要求时，若x°是局部最优解，则存在不全为0的0，入，i∈T(x*),4,j=1,,1使 得 AoVf(r)"-∑MVgm(r')-∑h,Vhg(r')=0 iI(x*) 且0≥0，M≥0，ieI(e). 证明若V(e)j=1,,1线性相关，可直接取合适的凸，0，入均为0即得结论。1.2 最优性条件  可行方向也即“这个方向还没有碰到边界”，下降方向也即“f 沿此方向局部下降”。 定理 1.9 (几何必要条件) ♡ 对约束最优化问题 minx∈S f(x)，x ∗ 是问题的局部最优解，则 F(x ∗ , S) ∩ D0(x ∗ , S) = ∅。 当 f 可微时，D(x ∗ , f) ⊂ D0(x ∗ , f)，因此 x ∗ 是问题的局部最优解可推出 F(x ∗ , S)∩D(x ∗ , S) = ∅。 证明 根据定义，若 F(x ∗ , S) ∩ D0(x ∗ , S) ̸= ∅，假设其中有方向 d，取可行方向的 δ 与下降方向的 δ 的 最小值为 δ0，则 f(x ∗ + λd), λ ∈ (0, δ) 中的每个点都是比 f(x ∗ ) 更小的可行点，矛盾。利用一阶泰勒展 开与前文无约束最优化时相同可证 D(x ∗ , f) ⊂ D0(x ∗ , f)，于是即得可微时结论。 下面，我们针对具体的可行域进行更细节的讨论。式 (1.2) 一般可以更进一步写为如下形式： min f(x) s.t. gi(x) ≥ 0 i = 1, . . . , m hj (x) = 0 j = 1, . . . , l (1.3) 比起式 (1.2)，式 (1.3) 中的指标集合成为了有限集合，之后讨论的也基本是这种情况。此时，上方 的必要条件可以进一步细化： 命题 1.10 (几何必要条件-函数约束) ♠ 记 I(x) = {i | gi(x) = 0}，也即对不等式约束取等的指标集合。在式 (1.3) 中定义 Df (x) = {d | ∇f(x) T d < 0} Fg(x) = {d | ∇gi(x) T d > 0, ∀i ∈ I(x)} Fh(x) = {d | ∇hj (x) T d = 0, ∀j} 若 x ∗ 为局部最优解，f, gi , i ∈ I(x ∗ ) 与所有 hj 在 x ∗ 可微，gi , i /∈ I(x ∗ ) 在 x ∗ 连续，且所有 ∇hj (x ∗ ), j = 1, . . . , l 线性无关，则有 Df (x ∗ ) ∩ Fg(x ∗ ) ∩ Fh(x ∗ ) = ∅ 这个结论的证明需要一些精细而复杂的微分几何操作，此处略过。从这个定理出发，即可以得到 重要的 Fritz-John 条件： 定理 1.11 (Fritz-John 必要条件) ♡ 若 x ∗ 为式 (1.3) 中的可行点，记 I(x) = {i | gi(x) = 0}。 连续性要求：f, gi , i ∈ I(x ∗ ) 与所有 hj 在 x ∗ 可微，gi , i /∈ I(x ∗ ) 在 x ∗ 连续。 在满足上述要求时，若 x ∗ 是局部最优解，则存在不全为 0 的 λ0, λi , i ∈ I(x ∗ ), µj , j = 1, . . . , l 使 得 λ0∇f(x ∗ ) − X i∈I(x∗) λi∇gi(x ∗ ) − X l j=1 µj∇hj (x ∗ ) = 0 且 λ0 ≥ 0, λi ≥ 0, i ∈ I(x ∗ )。 证明 若 ∇hj (x ∗ ), j = 1, . . . , l 线性相关，可直接取合适的 µj，λ0, λi 均为 0 即得结论。 5