12录优性条件 否则，根据几何必要条件，不等式组 [vf(r")Td<o 7g(x*)Td>0i∈I(s*) Vhi(")Td=0 j=1,....I 无解。记I(x）=1,,k,并记 A=(Vf(x),-7g,(x),-V9t(x),B=(-7(x),,-Vu(x*) 则条件即ATd<0,BTd=0无解。下证A入+Bu=0,入≥0有解，这样记入=(0，，k),4= (,m)即得结论。 [下方证明需含凸集分离定理（详见参考资料）在内的分析与线代知识，可跳过。」 记 则条件为SS=8,可径正二者均为B条，图光保据合东分考定里，存在烧平面（间）叶(（C）-0 分离两凸集，也即 由连续性，对任何S1闭包与S2闭包中的1,2，大于等于号仍成立。取1=0（卿d=0),利用 s2范图可知必须m≥0，而取S2闭包中的s2=0,S中d=-(Ap1+Bp2)可知-‖Ap1+Bpm2≥0， 所以只能Ap1+Bp2=0,这里,即为所需的解入。 现实中更常用的是其特殊情况： 定理1.12Kuhn-Tucker必要条件) 若x*为式1.3)中的可行点，记I()={i|g(x)=0} 连续性要求：∫，9，i∈T(x)与所有j在x可微，g,i年T()在x*连续，且向量集{Vg(r),i∈ (x),7h(x),j=1,l}线性无关. 在满足上述要求时，若x*是局部最优解，则存在M≥0，i∈T(x)与4，j=1,,1使得 Vf(z)- ∑Ag.e)-∑4,e)=0 1= 证明根据Fritz-John条件，由于，，西不全为0，餐设0=0，则存在不全为0的,西使得 ∑iez红)Vg(r)+=1山Vh(z)=0,与线性无关矛盾，因此o>0,同除以0即得到Kuhn Tucker必要条件。 定义Lagrange函数L(红，A,川)=fe)-∑m1A9:(x)-∑14yh(),则K-T条件可以表达为对 1.2 最优性条件 否则，根据几何必要条件，不等式组    ∇f(x ∗ ) T d < 0 ∇gi(x ∗ ) T d > 0 i ∈ I(§ ∗ ) ∇hi(x ∗ ) T d = 0 j = 1, . . . , l 无解。记 I(x ∗ ) = i1, . . . , ik，并记 A = (∇f(x ∗ ), −∇gi1 (x ∗ ), . . . , −∇gik (x ∗ )), B = (−∇h1(x ∗ ), . . . , −∇hl(x ∗ )) 则条件即 AT d < 0, BT d = 0 无解。下证 Aλ + Bµ = 0, λ ≥ 0 有解，这样记 λ = (λ0, . . . , λk), µ = (µ1, . . . , µm) 即得结论。 [下方证明需含凸集分离定理 (详见参考资料) 在内的分析与线代知识，可跳过。] 记 S1 =  λ µ ! | ∃d, λ = A T d, µ = B T d  , S2 =  λ µ ! | λ < 0, µ = 0 则条件为 S1∩S2 = ∅。可验证二者均为凸集，因此根据凸集分离定理，存在超平面 p1 p2 !T x+ q1 q2 ! = 0 分离两凸集，也即 ∀s1 ∈ S1, s2 ∈ S2, p1 p2 !T s1 + q1 q2 ! ≥ 0 ≥ p1 p2 !T s2 + q1 q2 ! ⇒ p1 p2 !T s1 ≥ p1 p2 !T s2 由连续性，对任何 S1 闭包与 S2 闭包中的 s1, s2，大于等于号仍成立。取 s1 = 0 (即 d = 0)，利用 s2 范围可知必须 p1 ≥ 0，而取 S2 闭包中的 s2 = 0，S1 中 d = −(Ap1 + Bp2) 可知 −∥Ap1 + Bp2∥ 2 ≥ 0， 所以只能 Ap1 + Bp2 = 0，这里 p1, p2 即为所需的解 λ, µ。 现实中更常用的是其特殊情况： 定理 1.12 (Kuhn-Tucker 必要条件) ♡ 若 x ∗ 为式 (1.3) 中的可行点，记 I(x) = {i | gi(x) = 0}。 连续性要求：f, gi , i ∈ I(x ∗ ) 与所有 hj 在 x ∗ 可微，gi , i /∈ I(x) 在 x ∗ 连续，且向量集 {∇gi(x ∗ ), i ∈ I(x ∗ ), ∇hj (x ∗ ), j = 1, . . . , l} 线性无关。 在满足上述要求时，若 x ∗ 是局部最优解，则存在 λi ≥ 0, i ∈ I(x) 与 µj , j = 1, . . . , l 使得 ∇f(x ∗ ) − X i∈I(x∗) λi∇gi(x ∗ ) − X l j=1 µj∇hj (x ∗ ) = 0 证明 根据 Fritz-John 条件，由于 λ0, λi , µj 不全为 0，假设 λ0 = 0，则存在不全为 0 的 λi , µj 使得 P i∈I(x∗) λi∇gi(x ∗ ) + Pl j=1 µj∇hj (x ∗ ) = 0，与线性无关矛盾，因此 λ0 > 0，同除以 λ0 即得到 Kuhn￾Tucker 必要条件。 定义 Lagrange 函数 L(x, λ, µ) = f(x) − Pm i=1 λigi(x) − Pl j=1 µjhj (x)，则 K-T 条件可以表达为对 6