9.5编使时究表缘系能地代学闲视响 982想响鲁设计没妆黄性分新 非齐次一阶线性弹分方程小中)的解为： 95.1系荣箱地 真理1着由式(9.13)或(9.14)潮地的果物见下并： -co✉u斗asu倒a-C-up Arimoto情出了黄性时实地候属能 (1)-CsrW承1 0m+mM[m-4Ψ0f〔-it )=A)+ (9.13) x-c(9 (2)选代和条并章，厚o--21(o-y侧 取ok.-pA0-r》则 迪+时，有问+付，门。 馬-5.-6-s(e气r-马p 的开不P列D选代#习控州， 正喇： 由于仰-%m,s-孙-则 --是1+0 (9.14) 式(a.3)及试(2)舞a间-00-仰-o 小-g--wa-G填s- 其中，1，￥为学习增进矩裤， 则@-收-之小即承能填见地条并. -q6倒a-suu 即 将式(9.1刀两端取范数，有 e-s-q6.到ra-arr ort-ifAh.(urcop-[ab.(nep(-irjer(agdrston-h.(for(ind a种-q4l.et长eke 将PD受控制津式(9.14)代入上式，则第k+1次输出的误差为： m啡l些头lm-444t --am成4ha](9.i5) -a国u.体r-ou4M保 xmkot 中-qeW-o (9.19) 利用分部积分公式，令G.r-C(rd,有 式中 【ce)s()r(-H.(r)er-ae啡-层ct.).(hr 4m{长ae小ae 根据1范数的定文.面数扣门→r的范数为：机思/中 -cMre-会e%e (9.16) s”思6W 由于a小，￥0a小则有ke儿k儿· 将式(9.16)代入式(9.15)，得 根蠡范数的定文可，面数/→心的范数为几~二/ 将式(9.19)的结果应用于下式，得： --4-会o4%* (9.17 将式9，酚两铺同要似am0w井考虑到【d,= 有 -a.a画fr抽-C到v:la(ojdolr 44 9.5 线性时变连续系统迭代学习控制 9.5.1 系统描述 Arimoto等给出了线性时变连续系统 （9.13） 的开环PID型迭代学习控制律： （9.14） 其中 ， ， 为学习增益矩阵。                 t t t t t t t t    x A x B u y C x  1       d d d k k k t t t t t             u u Γ L Ψ e Γ L Ψ 9.5.2 控制器设计及收敛性分析 定理1 若由式（9.13）和式（9.14）式描述的系统满足如下条件： （1） ； （2）每次迭代初始条件一致，即 则当 时，有 ， 。 证明： 由式（9.13）及条件式（2）得 则 ，即系统满足初始条件。 I C B Γ    t t t       1 x x y y k 0 1, 2,3, , 0 0     0 0 d k      k   y y k t t   d    t T 0,  y Cx Cx y k k k k   1 1 0 0 0 0           ek 0 0 0,1, 2,    k  非齐次一阶线性微分方程 的解为： 取 ，则 由于 ， ，则 x A x B u  t t t t t                                            0 0 0 0 0 0 exp d exp d exp d d exp exp exp d exp exp d t t t t t t t t t t                               x C A A B u A C A A B u A C A A B u Φ A t t , exp                     1 1   0 , d t k k k k t t t       x x Φ B u u            d e y y k k t t t         1 d 1 e y y k k t t t                               1 1 1 1 0 , d e e y y C x x C Φ B u u k k k k k k t k k t t t t t t t t t                  即 将PID型控制律式（9.14）代入上式，则第k+1次输出的误差为： （9.15） 利用分部积分公式，令 ，有 （9.16） 将式（9.16）代入式（9.15），得 （9.17） 1 1                 0 e e C Φ B u u , d t k k k k t t t t                                  1 0 0 e e C Φ B Γ e L e Ψ e , d d t k k k k k t t t t                          G C B Γ t t ,                                       0 0 0 0 d , , d , d t t t k k k t k k t t t t t                             C B Γ e G e G e C B Γ e G e                                    1 0 0 0 0 , d , d , d d e I C B Γ e G e C Φ B L e C Φ B ψ e t k k k t t k k t t t t t t t t t t                                 将式（9.17）两端取范数，有 （9.18） 式中 根据 范数的定义可知，函数 的范数为 。 将式（9.18）两端同乘以 ， ，并考虑到 有                                               1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 , d , d , d d d d d e I C B Γ e G e C Φ B L e C Φ B ψ e I C B Γ e e e t k k k t t k k t t k k k t t t t t t t t t t t t t t b b                                                        1 , 0, , 0, max sup , , sup , t T t T b t t t            G C Φ B L                  2 , 0, sup , C Φ B ψ t T b t t        : 0,   n f T R      0 sup e t t T f f t       expt   0     0 exp 1 exp d t t       （9.19） 根据 范数的定义，函数 的范数为： 由于 ， ， ，则有 。 将式（9.19）的结果应用于下式，得：                                         1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 exp d exp exp exp d exp exp d exp 1 1 exp exp exp exp 1 1 exp t t t k k k k k k k t b t b b t t b t b t t t b T b                                                     e e e e e e e  : 0,   n f T R      0 sup t t T f f t e        t T 0,    0,t     0,  k k       e e   