李日等：基于体积平均法的NH,C1水溶液凝固行为研究 ·1009· 合金凝固过程中宏观偏析的形成与温度场、流场 各项温度；C,为各相质量分数：D,为溶质相的扩散率；n 以及溶质场的相互作用密切相关，Bennon和Incrop- 为等轴晶的晶粒密度：N。表示单位时间单位体积内晶 eraⅢ建立了求解动量、能量和溶质传输耦合作用的连 粒数量的变化率，其表达式为 续介质模型；Beckermann等R提出了基于体积平均 N=业=d加dAn= 法的多相多尺度模型.Wu5-0等对体积平均法进行 d业-d(△T)d 了持续深入的研究，提出了预测宏观偏析的多相模型， d(△T）.ns e(2)y2 该模型考虑了熔体对流、柱状晶生长和等轴晶粒漂移 d√2m△T 对宏观偏析的影响.Sang等和Liu网等也用体积平 源项MUQ,和C,是两相之间质量、动量、能量和 均法对铸锭宏观偏析进行了研究. 溶质传输率，比如M.(Me=-M.)表示液相向等轴 本文依据体积平均法思想和耦合质量、动量、能量 晶相的质量传输，U(U=-U)表示液相向等轴晶 和溶质守恒方程的数学模型计算了NH,CI-70%H,0 相的动量传输. 铸锭的凝固过程，全面阐述合金凝固过程发生的各 1.2微观模型 种现象，如柱状晶向等轴晶转化(columnar-to-equi- 1.2.1形核模型 axed-ransition,CET)、等轴晶的下落或漂移以及对流 本文选用基于高斯分布的连续形核模型，在某给 形式，并且重新认识了偏析的形成机理，并进行了实 定过冷度△T下，n(△T)由分布函数积分求得 验验证. aan=ar. (6) 1数学模型 形核晶粒数由连续形核分布dn/d△T)求得： 1.1宏观传输方程 dn ”e() (7) 宏观传输方程包括质量、动量、能量及溶质守恒方 an2m-aT。 程，微观模型包括连续形核模型和柱状晶和等轴晶的 式中，n为形核密度，△T过为冷度，△T=T,-T+mC, 生长模型.在宏观守恒方程中源项最终将宏观传输方 m为相图中液相线斜率，T为温度，T:为合金主要成分 程与微观模型耦合计算. 的熔点，C为液相质量分数，n为最大形核密度，△T, 宏观传输方程如下. 为平均形核过冷度，△T。为标准方差过冷度，后三个参 质量守恒方程： 数均为实验值. 是p)+·Un,a)=Mn 1.2.2枝晶生长 (1) 由于上述宏观方程源项与各相体积分数有关，根 动量守恒方程： 据枝晶形貌特征和量纲分析方法，可求得下式. 是n,+t·pu,图m） 等轴晶晶粒生长速度： 7·p,k,Vu,）+Uw (2) 警发没会引因 C. 能量守恒方程： 等轴晶质量传输率： 是n.a)+tn8)= Me=Ve·(nem'd)pf (9) 柱状晶尖端生长速度： V·VP,k,V·u,)+Qo (3) m=k△T+k'AT. (10) 溶质守恒方程： 柱状晶径向生长速度： 是p,c)+t·paC= V·fp,D,T·Cg)+Cm (4) 晶粒传输方程： (11) 柱状晶质量传输率： 是n+an小= (5) Me=Ven。(rd)pf+mne（πRm）pf 式中f,为相体积分数(p和g表示液相1、等轴晶e或 (12) 柱状晶相c,且p≠g,下同)，在每个控制单元中各相体 式中，∫∫。和∫。分别是液相、等轴晶相和柱状晶相体 积分数均满足∫+f。+∫。=1：7为拉普拉斯算子：t为 积分数，D,为溶质在液相中的扩散率，n。和n。为晶粒 时间：P。为各相密度：u。为不同相在控制单元内体积 数量密度，R。和R。为晶粒尺寸，R为柱状晶尖端半 平均速度矢量；k,为等轴晶相和柱状晶相导热系数；h, 径，R,为平均晶粒尺寸，l为柱状晶长度，P。和P。为晶 为各相释放的潜热：H,为各相之间的热交换系数：T,为 粒密度，d。为等轴晶的平均直径，d。为柱状晶的平均李 日等: 基于体积平均法的 NH4Cl 水溶液凝固行为研究 合金凝固过程中宏观偏析的形成与温度场、流场 以及溶质场的相互作用密切相关，Bennon 和 Incrop￾era［1］建立了求解动量、能量和溶质传输耦合作用的连 续介质模型; Beckermann 等［2--4］ 提出了基于体积平均 法的多相多尺度模型． Wu［5--10］等对体积平均法进行 了持续深入的研究，提出了预测宏观偏析的多相模型， 该模型考虑了熔体对流、柱状晶生长和等轴晶粒漂移 对宏观偏析的影响． Sang 等［11］和 Liu［12］等也用体积平 均法对铸锭宏观偏析进行了研究． 本文依据体积平均法思想和耦合质量、动量、能量 和溶质守恒方程的数学模型计算了 NH4 Cl--70% H2 O 铸锭的凝固过程，全面阐述合金凝固过程发生的各 种现 象，如柱状晶向等轴晶转化 ( columnar-to-equi￾axed-transition，CET) 、等轴晶的下落或漂移以及对流 形式，并且重新认识了偏析的形成机理，并进行了实 验验证． 1 数学模型 1. 1 宏观传输方程 宏观传输方程包括质量、动量、能量及溶质守恒方 程，微观模型包括连续形核模型和柱状晶和等轴晶的 生长模型． 在宏观守恒方程中源项最终将宏观传输方 程与微观模型耦合计算． 宏观传输方程如下． 质量守恒方程:  t ( fqρq ) + Δ ·( fqρquq ) = Mpq ． ( 1) 动量守恒方程:  t ( fqρquq ) + Δ ·( fqρququq ) = Δ ·( fqρq kq Δ uq ) + Upq ． ( 2) 能量守恒方程:  t ( fqρquq ) + Δ ·( fqρququq ) = Δ ·( fqρq kq Δ ·uq ) + Qpq ． ( 3) 溶质守恒方程:  t ( fqρqCq ) + Δ ·( fqρquqCq ) = Δ ·( fqρqDq Δ ·Cq ) + Cpq ． ( 4) 晶粒传输方程:  t ·n + Δ ·( uen) = Ne ． ( 5) 式中: fq 为相体积分数( p 和 q 表示液相 l、等轴晶 e 或 柱状晶相 c，且 p≠q，下同) ，在每个控制单元中各相体 积分数均满足 f1 + fe + fc = 1; Δ 为拉普拉斯算子; t 为 时间; ρq 为各相密度; uq 为不同相在控制单元内体积 平均速度矢量; kq为等轴晶相和柱状晶相导热系数; hq 为各相释放的潜热; Hq为各相之间的热交换系数; Tq为 各项温度; Cq为各相质量分数; Dq为溶质相的扩散率; n 为等轴晶的晶粒密度; Ne 表示单位时间单位体积内晶 粒数量的变化率，其表达式为 Ne = dn dt = dn d( ΔT) ·d( ΔT) dt = d( ΔT) dt · nmax 槡2π·ΔTσ ·e － ( 1 2 ΔT － ΔTN ΔT ) σ 2 ; 源项 Mpq、Upq、Qpq和 Cpq是两相之间质量、动量、能量和 溶质传输率，比如 Μle ( Μle = － Μel ) 表示液相向等轴 晶相的质量传输，Ule ( Ule = － Uel ) 表示液相向等轴晶 相的动量传输． 1. 2 微观模型 1. 2. 1 形核模型 本文选用基于高斯分布的连续形核模型，在某给 定过冷度 ΔT 下，n( ΔT) 由分布函数积分求得 n( ΔT) = ∫ ΔT 0 dn d( ΔT) d( ΔT') ． ( 6) 形核晶粒数由连续形核分布 dn /dΔT) 求得: dn d( ΔT) = nmax 槡2π·ΔTσ ·e － ( 1 2 ΔT － ΔTN ΔT ) σ 2 ． ( 7) 式中，n 为形核密度，ΔT 过为冷度，ΔT = Tf － T + m·Cl， m 为相图中液相线斜率，T 为温度，Tf 为合金主要成分 的熔点，C1 为液相质量分数，nmax为最大形核密度，ΔTN 为平均形核过冷度，ΔTσ 为标准方差过冷度，后三个参 数均为实验值． 1. 2. 2 枝晶生长 由于上述宏观方程源项与各相体积分数有关，根 据枝晶形貌特征和量纲分析方法，可求得下式． 等轴晶晶粒生长速度: VＲe = dＲe dt = D1 Ｒe ·c * 1 － c1 c * 1 － c * s = D1 Ｒe ( 1 － k) ·( 1 － c1 c * ) 1 ． ( 8) 等轴晶质量传输率: M1e = VＲ·e ( neπ·d2 e )·ρe ·f1 ． ( 9) 柱状晶尖端生长速度: Vc tip = k1 ·ΔT2 + k2 ·ΔT3 ． ( 10) 柱状晶径向生长速度: VＲc = dＲc dt = D1 Ｒc ·c * 1 － c1 c * 1 － c * s = D1 Ｒc ( 1 － k) ·ln ( － 1 Ｒf Ｒ ) c ． ( 11) 柱状晶质量传输率: M1c = VＲ·c nc ·( πdc ·l)·ρc ·fc + Vc tip·nc ·( πＲ2 tip )·ρ1 ·f1 ． ( 12) 式中，f1、fe 和 fc 分别是液相、等轴晶相和柱状晶相体 积分数，D1 为溶质在液相中的扩散率，ne 和 nc 为晶粒 数量密度，Ｒe 和 Ｒc 为晶粒尺寸，Ｒtip 为柱状晶尖端半 径，Ｒf为平均晶粒尺寸，l 为柱状晶长度，ρe 和 ρc 为晶 粒密度，de 为等轴晶的平均直径，dc 为柱状晶的平均 · 9001 ·