第十六章 Fourier级数 习题16.1函数的 Fourier级数展开 1.设交流电的变化规律为 E()= A sin ot,将它转变为直流电 的整流过程有两种类型: (1)半波整流(图16.1.5(a) f(=n(sin ot +sin ot D); (2)全波整流(图16.1.5(b) f,(0)=Asin ot: 现取o=1,试将f(x)和f2(x)在 [-x,z展开为 Fourier级数。 解(12x,(=24 图16.1.5 2A f(x)cos nxd (n=2,4.6,…) a=11(k0,(n=135…) b f(x) f(xsin ndx=0 2,3,4, A A、cos2kxr f(x)-2+sinx-2∑ 4A (2 ∫f(x) cosnxdx= x(n2-D)(n=2,4,6…), a=1∫(x)snk=0(n=1353 b=[,( x)sin ndx=0,(n=123…)。 2A 4A f2(x) 丌rk=14k2-1 2.将下列函数在[-z,上展开成 Fourier级数: (1) f(x)=sgx (2)f(x)= cos x I第十六章 Fourier 级数 习题 16.1 函数的 Fourier 级数展开 (a) (b) 图 16.1.5 ⒈设交流电的变化规律为 ，将它转变为直流电 的整流过程有两种类型： E t( ) = Asin ωt ⑴ 半波整流（图 16.1.5(a)） f t A 1 2 ( ) = (sin f t A t 2 ( ) |sin | ωt t +|sinω |)； ⑵ 全波整流（图 16.1.5(b)） = ω ) x) ； 现取 ω = 1 ，试将 f x 1( 和 f 2 ( 在 [−π ,π ]展开为 Fourier 级数。 解 （1） 0 a = 1 1 f ( ) x dx π π ∫−π 2A π = ， an = 1 1 f ( ) x n cos xdx 2 2 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,"), π π ∫−π n a = 1 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π −π = ∫ ，（n = 1,3,5,"）； 1 b = 1 1 ( )sin 2 A f x xdx π π −π = ∫ ， bn = 1 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n = 2,3, 4,")。 1f ( ) x ∼ 2 1 2 cos 2 sin 2 4 k 1 A A A x π π k ∞ = + − kx − ∑ 。 （2） 0 a = 2 1 f ( ) x dx π π ∫−π 4A π = ， an = 2 1 f ( ) x n cos xdx 2 4 ( 1 A π n = − − ) ( n = 2, 4,6,…), π π ∫−π n a = 2 1 f x( ) cos nxdx 0 π π −π = ∫ （n = 1,3,5,…）； bn = 2 1 f ( ) x sin nxdx 0 π π −π = ∫ ，( n =1, 2,3,")。 2f ( ) x ∼ ∑ ∞ = − − 1 2 4 1 2 4 cos 2 k k A A kx π π 。 ⒉ 将下列函数在[−π ,π ]上展开成 Fourier 级数： ⑴ f (x) = sgn x ; ⑵ f x( ) = |cos x |; 1