而 E(X2)=EX(x-1)+=EX(X-1)+E(X)=∑k(k-1 (-2)+=ee2+=2+ 故方差D(X)=E(X2)-[E(X)2= 由此可知,泊松分布的数学期望与方差相等,都等于参数.因为泊松分布只含有一个 参数λ,只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了 例4(E04)设X~U(a,b),求E(X),D(X) 解x的概率密度为f(x)={b-a a<x<b 0,其它 而E(X)=⊥x(x)t=px=b 故所求方差为 b D(X)=E(X2)-[E(P=)rkdr-/c+b2(b 例5(E05)设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 f(r) 0 其中θ>0,求E(X),D(X) Ex)=/(=xb==+.2xm02 于是D(X)=E(x2)-[E(X)2=202-02=02.即有E(X)=,D(X)=6 例6设随机变量X,Y的联合点分布在以点(0,1),(1,0)(1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布,试求随机变量Z=X+Y的期望与方差 解三角形区域G如图所示,G的面积为1/2,所以 (X,Y)的联合概率密度为 (1,1) f(x, y)= (x,y)∈G (x,y)∈G 方法一分两步进行,第一步先求出函数Z的概率密 x+y=4 度,第二步计算Z的期望与方差设Z的分布函数F2(=)而 ( ) [ ( 1) ] 2 E X = E X X − + X = E[X(X −1)]+ E(X)   = − = − + 0 ! ( 1) k k k e k k      = − − + − = 2 2 2 ( 2)! k k k e     , 2 2       = + = + − e e 故方差 ( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X =  由此可知, 泊松分布的数学期望与方差相等, 都等于参数 . 因为泊松分布只含有一个 参数 , 只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布了. 例 4 (E04) 设 X ~ U(a,b), 求 E(X), D(X). 解 X 的概率密度为 , 0, , 1 ( )       = − 其它 a x b f x b a 而  + − E(X ) = xf (x)dx  − = b a dx b a x , 2 a + b = 故所求方差为 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)]        + − − = b a c b dx b a x 2 2 2 1 . 12 ( ) 2 b − a = 例 5 (E05) 设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为 , 0, 0 , 0 1 ( ) /       = − x e x f x x   其中   0, 求 E(X), D(X). 解  + − E(X ) = xf (x)dx  + − = 0 1 / x e dx x   , 0 / 0 /    = − + =  + − + − xe e dx x x  + − E(X ) = x f (x)dx 2 2  + − = 0 2 1 / x e dx x    + − + − = − + 0 / 0 2 / x e 2xe dx x  x  2 , 2 =  于是 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)] 2 . 2 2 2 =  − = 即有 E(X) =, ( ) . 2 D X = 例 6 设随机变量 X ,Y 的联合点分布在以点(0,1), (1,0), (1,1)为顶点的三角形区域上服从 均匀分布, 试求随机变量 Z = X + Y 的期望与方差. 解 三角形区域 G 如图所示, G 的面积为 1/2, 所以 (X,Y) 的联合概率密度为 . 0, ( , ) 2, ( , ) ( , )      = x y G x y G f x y 方法一 分两步进行, 第一步先求出函数 Z 的概率密 度, 第二步计算 Z 的期望与方差.设 Z 的分布函数 F (z), Z