利用数学期望的性质,易得计算方差的一个简化公式 D(X)=E(x2)-[E(X 三、方差的性质 设C常数,则D(C)=0 2.若X是随机变量,若C是常数,则 3.设X,y是两个随机向量,则 DX±Y)=D(X)+D()±2E((X-E(X)(Y-E(Y) 特别地,若XY相互独立,则 注:对n维情形,有:若x1X2…,Xn相互独立,则 ∑=∑DCXD∑CX=∑GD(x 例题选讲 方差的计算 例1(E01)设随机变量X具有数学期望E(X)=,方差D(X)=a2≠0.记X E(X)=-E(X-)=-[E(X)-=0, Dx')=E(x")-E(x")=E(x=)2]=1E(x-m21=9=1 即x'=x的数学期望为0.方差为1.x称为x的标准化变量 例2(E02)设随机变量X具有(0-1)分布,其分布律为 P{X=0}=1-p,P{X=1}=P 求E(X),D(X) 解E(X)=0·(1-p)+1·p=P,E(x2)=02(1-p)+12p=p, 故D(X)=E(x2)-[E(X)2=p-p2=p(1-p) 例3(E03)设X~P(),求E(X),D(X) 解X的分布律为P(x==xC,k=012…,>0 k! 则E(X)=∑ ,利用数学期望的性质, 易得计算方差的一个简化公式: 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)] . 三、方差的性质 1. 设 C 常数, 则 D(C) = 0 ; 2. 若 X 是随机变量, 若 C 是常数, 则 ( ) ( ); 2 D CX =C D X 3. 设 X,Y 是两个随机向量,则 D(X  Y) = D(X) + D(Y)  2E((X − E(X))(Y − E(Y))); 特别地, 若 X,Y 相互独立, 则 D(X  Y) = D(X) + D(Y). 注: 对 n 维情形, 有: 若 X X Xn , , , 1 2  相互独立, 则 ( ), ( ). 1 2 1 1 1     = = = =  =       =      n i i i n i i i n i i n i D Xi D X D C X C D X 例题选讲 方差的计算 例 1(E01) 设随机变量 X 具有数学期望 E(X) = , 方差 ( ) 0. 2 D X =  记 , *  −  = X X 则 [ ( ) ] 0; 1 ( ) 1 ( ) * = − = −  =    E X E X E X [( ) ] 1. 1 ( ) ( ) [ ( )] [( ) ] 2 2 2 2 * *2 * 2 2 = − = = − = − =       E X X D X E X E X E 即  −  = X X * 的数学期望为 0, 方差为 1. * X 称为 X 的标准化变量. 例 2 (E02) 设随机变量 X 具有 (0 −1) 分布, 其分布律为 P{X = 0} =1− p,P{X =1} = p, 求 E(X), D(X). 解 E(X) = 0(1− p) +1 p = p, ( ) 0 (1 ) 1 , 2 2 2 E X =  − p +  p = p 故 2 2 D(X) = E(X ) −[E(X)] (1 ). 2 = p − p = p − p 例 3 (E03) 设 X ~ P(), 求 E(X), D(X). 解 X 的分布律为 , ! { } k e P X k k   − = = k = 0,1,2,  ,  0, 则   = − = 0 ! ( ) k k k e E X     = − − − = 0 1 ( 1)! k k k e     ,   =  = − e e