高维微分学——隐映照定理的应用(约束上最值问题) 谢锡麟 Bx(元0)×B(io) [BA(x0)×Bn(o)∩ (o) Ba(Eo) 图1:一般m-r维曲面的隐映照图像 非奇异,则彐B(0)cRm-r,B1(x0)CR,满足 v∈Bx(0),3!=()∈B4(xo),满足约束∫(,φ()=0∈R 隐映照定理结论的几何刻画,如图1所示.在局部柱体B(0)×B(o)CRm中,∑为隐映 照的图像 Ⅴ∈Bx(x0)}cRm φ() Rm空间上带有约束的最值问题,数学提法如下:对于目标函数(x)∈R,有约束 ∑={x∈Rmnf(x)= (c)=0∈R 现求x*∈∑,满足 0(x,)=sup(x)或者(a,)=infb(x) 按隐映照定理,在局部柱体BA(xo)×B2(xo)Rm中,Σ为隐映照的图像 v∈B(xo)}cRm φ() 由此,定义在约束∑上的目标函数θ(x)在局部等价于 (i)6(,o(),V,∈B(0)微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（约束上最值问题） 谢锡麟 X1 Xr Xr+1 , · · · , Xm O ( x˜0 ϕ(x˜0) ) ( x˜ ϕ(x˜) ) x˜ x˜0 Bλ(x˜0) Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0) [Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0)] ∩ Σ 图 1: 一般 m − r 维曲面的隐映照图像 非奇异, 则 ∃ Bλ(x˜0) ⊂ R m−r , Bµ(xˆ0) ⊂ R r , 满足 ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0), ∃ ! xˆ = ϕ(x˜) ∈ Bµ(xˆ0), 满足约束f(x˜, ϕ(x˜)) = 0 ∈ R r . 隐映照定理结论的几何刻画, 如图1所示. 在局部柱体 Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0) ⊂ R m 中, Σ 为隐映 照的图像 {( x˜ ϕ(x˜) )     ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0) } ⊂ R m. R m 空间上带有约束的最值问题, 数学提法如下: 对于目标函数 θ(x) ∈ R, 有约束 Σ =    x ∈ R m         f(x) =   f 1 . . . f r   (x) = 0 ∈ R r    , 现求 x∗ ∈ Σ, 满足 θ(x∗) = sup Σ θ(x) 或者 θ(x∗) = inf Σ θ(x). 按隐映照定理, 在局部柱体 Bλ(x˜0) × Bµ(xˆ0) ⊂ R m 中, Σ 为隐映照的图像 {( x˜ ϕ(x˜) )     ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0) } ⊂ R m. 由此, 定义在约束 Σ 上的目标函数 θ(x) 在局部等价于 ˜θ(x˜) , θ(x˜, ϕ(x˜)), ∀ x˜ ∈ Bλ(x˜0). 2