高维微分学——隐映照定理的应用(约束上最值问题) 谢锡麟 基于链式求导法则,其临界点方程为 DB(,)=D2O(,(,)+D(,(,)D(,) D(,d(,)+D(,以(,)[-(Daf)-1D月(近,以()=0 13 Lagrange乘子法 一般处理带有约束的最值问题,常采用 Lagrange乘子法,其系统化做法如下: 1.引入 Lagrange函数 L(,,A)会(,)+Af(正,)∈R 其中,A∈R为 Lagrange乘子; 2.确定 Lagrange函数的临界点,即DL(,,A,)=0∈R1x(m一r++,具体为 DL(,A)=D1(,,)+AD∫(,,)=0∈Rm-r, D2L(,A,)=D2B(,分,)+ADf(,,)=0∈Rr DxL(定*,,λ)=∫(,)=0∈R 上述第三组方程即为约束方程;结合第一组和第二组方程消去λ即得上述基于隐映照定理所得 的临界点方程 2应用事例 2.1约束最值问题 22利用约束最值获得不等式 3建立路径微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 隐映照定理的应用（约束上最值问题） 谢锡麟 基于链式求导法则, 其临界点方程为 D˜θ(x˜∗) = Dx˜θ(x˜∗, ϕ(x˜∗)) + Dxˆ(x˜∗, ϕ(x˜∗))Dϕ(x˜∗) = Dx˜θ(x˜∗, ϕ(x˜∗)) + Dxˆ(x˜∗, ϕ(x˜∗)) [ −(Dxˆf) −1Dx˜f ] (x˜∗, ϕ(x˜∗)) = 0. 1.3 Lagrange 乘子法 一般处理带有约束的最值问题, 常采用 Lagrange 乘子法, 其系统化做法如下: 1. 引入 Lagrange 函数 L(x˜, xˆ, λ) , θ(x˜, xˆ) + λ Tf(x˜, xˆ) ∈ R, 其中, λ ∈ R r 为 Lagrange 乘子; 2. 确定 Lagrange 函数的临界点, 即 DL(x˜∗, xˆ∗, λ∗) = 0 ∈ R 1×(m−r+r+r) , 具体为    Dx˜L(x˜∗, xˆ∗, λ∗) = Dx˜θ(x˜∗, xˆ∗) + λ T ∗ Dx˜f(x˜∗, xˆ∗) = 0 ∈ R m−r , DxˆL(x˜∗, xˆ∗, λ∗) = Dxˆθ(x˜∗, xˆ∗) + λ T ∗ Dxˆf(x˜∗, xˆ∗) = 0 ∈ R r , DλL(x˜∗, xˆ∗,λ∗) = f(x˜, xˆ) = 0 ∈ R r . 上述第三组方程即为约束方程; 结合第一组和第二组方程消去 λ 即得上述基于隐映照定理所得 的临界点方程. 2 应用事例 2.1 约束最值问题 2.2 利用约束最值获得不等式 3 建立路径 3