2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 2.7.3连续函数的运算性质复合函数与反函数的连续性 定理2。9若函数∫(x)与g(x)在x0处连续,则函数a(x)±bg(x),∫(x)·g(x)在x0 处连续,且当g(x)≠0时,函数f()(在x处亦连续 定理2。10复合连续定理 若y=∫(u)在=0处连续,"=u(x)在x=x0处连续,且u(x0)=l0, 则∫(u(x))在x=x处连续 定理2.11设函数y=∫(x)在闭区间{a,b上严格单调且连续,则y=f(x)在[a,b上 的反函数∫(y)在a,上严格单调连续。 2.8闭区间上连续函数的性质 函数在区间上连续的概念及一系列性质,是研究函数在大范围内的全局性态或宏观性 态的重要手段,也是后续学习内容的重要基础。 定理2.12有界性定理 若函数y=∫(x)在有界闭区间[a,b上连续,则∫(x)在{a,b上有界,即存在 M>0,使x∈lab,恒有∫(x)sM。 定理2.13最大最小值定理 设函数y=∫(x)在闭区间[a,b上连续,则∫(x)在[a,b上有最大最小值。即存在 xM∈la,b与xm∈[a,b使得∫(xM)=M=maxf(x)且f(xm)=m=maxf(x)。 x∈a,b 注:若函数y=∫(x)在闭区间[a,b上连续且单调,则f(x)在|a,b上的最大最小值只 能在区间端点取得。 定理2.14零点定理(根的存在定理) 设函数y=∫(x)在闭区间{a,b上连续,且∫(a)∫(b)<0,则(至少)存在x∈(a,b) 使得∫(x0)=0。 分析:几何意义是直观的 注1:零点定理可以扩充为:若有不同的两点x1,x2∈la,b(x1<x2)使得 f(x1)f(x2)<0,则(至少)存在x0∈(x1,x2)使得∫(x)=0。 注2:零点定理给出了在闭区间{a,b上连续函数y=f(x)在[a,b上至少有一个零点的 充分条件。读者可以思考,y=∫(x)满足什么条件时,在[a,b上至多有一个零点?又满 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 10网址:www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2．7．3 连续函数的运算性质 复合函数与反函数的连续性 定理 2。9 若函数 f ( x) 与 g( x) 在 x0 处连续，则函数af ( x) ± bg( x) ， 在 处连续，且当 时，函数 f ( x)⋅ g( x) x0 g(x0 ) ≠ 0 ( ) ( ) g x f x 在 处亦连续。 x0 定理 2。10 复合连续定理 若 y = f (u)在 u = u0 处连续， u = u(x) 在 x = x0处连续， 且 ， u x0 = u0 ( ) 则 f (u( x)) 在 处连续 。 x = x0 定理 2. 11 设函数 y = f ( x) 在闭区间[a, b]上严格单调且连续，则 y = f (x) 在 上 的反函数 在 [a, b] f ( y) −1 [α, β ] 上严格单调连续。 2．8 闭区间上连续函数的性质 函数在区间上连续的概念及一系列性质，是研究函数在大范围内的全局性态或宏观性 态的重要手段，也是后续学习内容的重要基础。 定理 2.12 有界性定理 若函数 在有界闭区间 上连续，则 在 上有界，即存在 ，使 ，恒有 y = f ( x) [a, b] f ( x) [a, b] M > 0 ∀x ∈[a b] f (x) ≤ M 。 定理 2.13 最大最小值定理 设函数 在闭区间 上连续，则 在 上有最大最小值。即存在 与 y = f (x) [a, b] f ( x) [a, b] xM ∈[a, b] x [a, b] m ∈ 使得 ( ) max ( ) [ , ] f x M f x x a b M ∈ = = 且 ( ) max ( ) [ , ] f x m f x x a b m ∈ = = 。 注：若函数 在闭区间 上连续且单调，则 在 上的最大最小值只 能在区间端点取得。 y = f (x) [a, b] f ( x) [a, b] 定理 2.14 零点定理（根的存在定理） 设函数 y = f ( x) 在闭区间[a, b]上连续，且 f (a) f (b) < 0 ，则（至少）存在 使得 。 x ∈ (a, b) 0 f (x0 ) = 0 分析：几何意义是直观的。 注 1：零点定理可以扩充为：若有不同的两点 , [ , ]( ) 1 2 1 2 x x ∈ a b x < x 使得 0 f (x1 ) f (x2 ) < ，则（至少）存在 ( , ) x0 ∈ x1 x2 使得 f (x0 ) = 0 。 注 2: 零点定理给出了在闭区间[a, b]上连续函数 y = f ( x) 在 上至少有一个零点的 充分条件。读者可以思考， 满足什么条件时，在 上至多有一个零点？又满 [a, b] y = f (x) [a, b] 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 10 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805