Gre函数的对称性 ( Green函数在空间上的对称性与时间上的倒易性) 为此,再列出关于 Green函数G(x,-t;x",-t'")的定解问题 84D2G(x,-tx",-)=6(x-x2)6(t-") G(x,-tx",-t")l=0=0 G(,-t; t,t">0 ) 0. 0,0<x,x"<l 将两个方程分别乘以Gren函数G(x,-t;x",-)和G(x,tx,t),相减,再在区间[,和0,∞) 上对x和t积分,即得 G(x,-t';x",-t")-G(x",t";x',t) a-G(r, t; a', t) G(r t a-G(a ax2 G(x,一t; aG(a, t;r,t') OG(x,-t;x",-1 G(, t;a', t') (x,t;x',t) 代入有关的边界条件和初始条件,可以看出,右端的积分为0,所以就导出了Gren函数在空间 上的对称性与时间上的倒易性, G(x",t";x',t)=G(x1,-t;x",-t") 或者将x"和t"改写成x和t G(a, t; r, t)=G(r, -t';T, -t) 在这个关系式中,将t和t对换位置时出现的负号,正好保证了时间的先后次序不变,否则就会 有悖于因果律的要求Wu Chong-shi §30.1 ♥♦ Green ♣q r 2 s Green t✉✈✇①② (Green ✰✱✷ ③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩❶④⑤⑥❷❸⑨) ✎ ◗ ✗❹❺◆❻✸ Green ✰✱ G(x, −t; x 00 , −t 00) ✢✔★✣✤  ∂ 2 ∂t2 − a 2 ∂ 2 ∂x2  G(x, −t; x 00 , −t 00) = δ(x − x 00)δ(t − t 00), 0 < x, x00 < l, t, t00 > 0, G(x, −t; x 00 , −t 00)   x=0 = 0, G(x, −t; x 00 , −t 00)   x=l = 0, t, t00 > 0, G(x, −t; x 00 , −t 00)   −t<−t 00 = 0, ∂G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂t    −t<−t 00 = 0, 0 < x, x00 < l. ✐❼❫✌✍❽❾❿✡ Green ✰✱ G(x, −t; x 00 , −t 00) ❨ G(x, t; x 0 , t0 ) ✗✮➀✗❹✷➁✽ [0, l] ❨ [0, ∞) ➂❴ x ❨ t ➃ ❽✗➄➅ G(x 0 , −t 0 ; x 00 , −t 00) − G(x 00, t00; x 0 , t0 ) = Z l 0 dx Z ∞ 0  G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂ 2G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t2 − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂ 2G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂t2  dt − Z ∞ 0 dt Z l 0  G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂ 2G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x2 − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂ 2G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂x2  dx = Z l 0  G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂t ∞ 0 dx − Z ∞ 0  G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂x − G(x, t; x 0 , t0 ) ∂G(x, −t; x 00 , −t 00) ∂x l 0 dt, ➆➇✚❻✢➈✛❁❂❨❆❇❁❂✗✫✡➉◆✗➊➋✢➃ ❽✎ 0 ✗P✡✩➌◆✒ Green ✰✱✷✼✽ ➂✢❴❵❛➍✴✽ ➂✢➎➏❛✗ G(x 00, t00; x 0 , t0 ) = G(x 0 , −t 0 ; x 00 , −t 00), ➐➑✐ x 00 ❨ t 00 ➒➓➔ x ❨ t ✗ G(x, t; x 0 , t0 ) = G(x 0 , −t 0 ; x, −t). ✷ ❄❫❻→➣ ↔✗✐ t ❨ t 0 ❴↕➙➛✴◆❖✢➜➝✗➞➟❯➠✒✴✽ ✢➡➢❀➤➥➦✗➧➨✩➩ ✚➫✸ ❑➭➯✢ ❭♠✑