定理1设是环上的测度.4为由导出的外测度.则满足 (i).4'(②)=0 (i)单调性:若AcB,则*(A)≤H'(B) (i)次可数可加性:对X中的任意一列集{A}成立 ((A,)≤∑u'(An) 证明由于{}是空集必的一个覆盖,故'(⑦)≤川()=0.因此4'()=0 设AcB,则B的每个界覆盖也是A的覆盖这蕴涵'(A)≤'(B).下面证明p 具有次可数可加性.设{An}是X的一列子集.不妨设'(A)<+∞,n≥1(否则(1)显然 成立)现在任意给定E>0.由的定义,对每个n≥1,存在An的一个覆盖 {Cnk}k21,使得 ∑ACn)≤A(A,)+5 由于(Cnk,nk≥1是An的一个界覆盖,由(2)得到 (U4)22(Cn)(4)+2)=2(4)+E 由于E>0是任意的,因此得到 (∪4)≤∑'(4) 即具有次可数可加性 可测集由导出的外测度定义在X的全体子集所成的集类上.但的定义域 太大,一般不满足可数可加性.因而一般不是测度.下面将证明,可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓“可测集”,这些集构成一个σ-代数.将限制在这个 a-代数上,凵满足可数可加性,因而成为一个测度.而且这个a一代数一般要比 的定义域要大,于是就扩大了原来测度的定义域 定义2设是环上的测度,是由导出的外测度.又设EcX.若对任意 AcX,均有 (A)='(A∩E)+'(A∩E) (图2-1)则称E是p-可测集.p可测集的全体所成的集类记为 等式(3)称为 Caratheodory条件(简称为卡氏条件).由于外测度p具有次可数可加性, 因此对任意AcX成立 (A)=(A∩E)∪(AnE)≤(AE)+p(A∩E)48 定理 1 设 µ 是环R 上的测度. ∗ µ 为由 µ 导出的外测度. 则 ∗ µ 满足: (i). (∅) = 0. ∗ µ (ii).单调性: 若 A ⊂ B, 则µ ∗ (A) ≤ (B). ∗ µ (iii).次可数可加性: 对 X 中的任意一列集{ } An 成立 ( ) ( ). 1 1 n n n An ∑ A ∞ = ∗ ∞ = ∗ µ U ≤ µ (1) 证明 由于{∅}是空集∅ 的一个R 覆盖, 故 (∅) ≤ (∅) = 0. ∗ µ µ 因此 (∅) = 0. ∗ µ 设 A ⊂ B, 则 B 的每个R 覆盖也是 A 的R 覆盖. 这蕴涵 (A) (B). ∗ ∗ µ ≤ µ 下面证明 ∗ µ 具有次可数可加性. 设{ } An 是 X 的一列子集. 不妨设 ( ) < +∞, ≥ 1 ∗ A n µ n (否则(1)显然 成立). 现在任意给定 ε > 0. 由 ∗ µ 的定义, 对每个 n ≥ 1, 存在 An 的一个 R 覆盖 { } , Cn,k k≥1 使得 ( ) ( ) . 1 , n n k Cn k A 2 ∑ ≤ + ∞ = ∗ ε µ µ (2) 由于{ , , 1} Cn,k n k ≥ 是U ∞ n=1 An 的一个R 覆盖, 由(2)得到 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) . 1 1 1 , 1 1 µ ε ε µ µ µ = + 2 ≤ ∑∑ ≤ ∑ + ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ n n n n n n n k n k UAn C A A 由于ε > 0是任意的, 因此得到 ( ) ( ). 1 1 ∑ ∞ = ∗ ∞ = ∗ ≤ n n n µ UAn µ A 即 ∗ µ 具有次可数可加性. 可测集 由 µ 导出的外测度 ∗ µ 定义在 X 的全体子集所成的集类上. 但 ∗ µ 的定义域 太大, 一般不满足可数可加性. 因而一般不是测度. 下面将证明, 可以通过适当的限制条 件挑选出一部分集即所谓 可测集 这些集构成一个σ − 代数. 将 ∗ µ 限制在这个 σ − 代数上, ∗ µ 满足可数可加性, 因而成为一个测度. 而且这个σ − 代数 一般要比 µ 的定义域R 要大, 于是就扩大了原来测度的定义域. 定义 2 设 µ 是环R 上的测度, ∗ µ 是由 µ 导出的外测度. 又设 E ⊂ X. 若对任意 A ⊂ X , 均有 ( ) ( ) ( ). c A = A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ µ µ µ (3) ( 图 2 1)则称 E 是 ∗ µ -可测集. ∗ µ -可测集的全体所成的集类记为 . ∗ R 等式(3)称为Caratheodory条件(简称为卡氏条件). 由于外测度 ∗ µ 具有次可数可加性, 因此对任意 A ⊂ X 成立 ( ) (( ) ( )) ( ) ( ). c c A = A ∩ E ∪ A ∩ E ≤ A ∩ E + A ∩ E ∗ ∗ ∗ ∗ µ µ µ µ