3.求方程:=x2过点(0,1)的第三次近似解 解:所给初值问题的 Picard迭代序列如下 1(t)=1+/() 2(t)=1+ 由此得第三次近似解为 93()=1+/2(r)dr 5.利用 Picard存在惟一性定理求定义在矩形区域R={(t,x)∈R2:团≤1,l≤1}上的方程 过点(0,0)的解的存在区间,并求在此区间上与真正的解的误差不超过0.05的近似解 解:这里to=0,xo=0,a=1,b=1,M=max{x2+t:(t,x)∈R}=2,f(t,x)=x2+t, h=min{a,}=。由 Picard存在唯一性定理,所给初值问题在区间t∈[-l,上存在唯 不难求得 Lipschitz常数L=max{:(t,x)∈l}=2。由误差估计(2.4)可得在解的存在区 间t∈[-,上有 ln(t)-(m+m(2)+=-1 其中φ()为所给初值问题的真正解,φn(t)为所给初值问题的第n次近似解。显然当n=3时,φ3(t)为 所给初值问题在区间t∈[-是,上与真正的解的误差不超过0.05的近似解,因为这时有 3()-()sa4<00 所给初值问题的 Picard迭代序列前四项为 (t)=0, t2 p()=((7)+r)tr=2 2(0=/(2()+)h=2+G t2 t5 t tl1 故所求近似解为 () 8.试求初值问题 a=P()x+Q(),x(0)=x02 3. 求方程 dx dt = x 2 过点 (0, 1) 的第三次近似解. 解: 所给初值问题的Picard迭代序列如下： ϕ0(t) = 1, ϕ1(t) = 1 + Z t 0 ϕ 2 0(τ )dτ = 1 + t, ϕ2(t) = 1 + Z t 0 ϕ 2 1(τ )dτ = 1 + t + t 2 + 1 3 t 3 , 由此得第三次近似解为 ϕ3(t) = 1 + Z t 0 ϕ 2 2(τ )dτ = 1 + t + t 2 + t 3 + 2 3 t 4 + 1 3 t 5 + 1 9 t 6 + 1 63 t 7 . 5. 利用 Picard 存在惟一性定理求定义在矩形区域 R = {(t, x) ∈ R 2 : |t| ≤ 1, |x| ≤ 1} 上的方程 dx dt = x 2 + t 过点 (0, 0) 的解的存在区间, 并求在此区间上与真正的解的误差不超过 0.05 的近似解. 解: 这里t0 = 0, x0 = 0, a = 1, b = 1, M = max{|x 2 + t| : (t, x) ∈ R} = 2, f(t, x) = x 2 + t, h = min{a, b M } = 1 2。由Picard 存在唯一性定理，所给初值问题在区间t ∈ [− 1 2 , 1 2 ] 上存在唯 一。不难求得Lipschitz常数L = max{| ∂f ∂x | : (t, x) ∈ R} = 2。由误差估计(2.4)可得在解的存在区 间t ∈ [− 1 2 , 1 2 ]上有： |ϕn(t) − ϕ(t)| ≤ 2 · 2 n (n + 1)!( 1 2 ) n+1 = 1 (n + 1)!. 其中ϕ(t)为所给初值问题的真正解, ϕn(t)为所给初值问题的第n次近似解。显然当n = 3时, ϕ3(t)为 所给初值问题在区间t ∈ [− 1 2 , 1 2 ]上与真正的解的误差不超过0.05的近似解, 因为这时有： |ϕ3(t) − ϕ(t)| ≤ 1 24 < 0.05. 所给初值问题的Picard迭代序列前四项为： ϕ0(t) = 0, ϕ1(t) = Z t 0 (ϕ 2 0(τ ) + τ )dτ = t 2 2 , ϕ2(t) = Z t 0 (ϕ 2 1(τ ) + τ )dτ = t 2 2 + t 5 20 , ϕ3(t) = Z t 0 (ϕ 2 1(τ ) + τ )dτ = t 2 2 + t 5 20 + t 8 160 + t 11 4400 , 故所求近似解为 ϕ3(t) = t 2 2 + t 5 20 + t 8 160 + t 11 4400 . 8. 试求初值问题 dx dt = P(t)x + Q(t), x(t0) = x0