习题5.1 1.设x(t)=φ(t)是初值问题 正=f(,x),()=x0 在区间[to-h,to+l上的连续解,其中∫(t,x)在矩形区域 R={(t,x)∈R2:|t-tol≤a,x-ro≤b} 上连续,在R上关于x满足 Lipschitz条件, Lipschitz常数为L,h=min{a,是M=max{f(t,x) (,x)∈R}.设n(0)是Pad迭代序列中第n次迭代得到的函数,证明有如下的误差估计: ML lyn(t)-g(t)≤ 证明:不妨设t∈[to,to+h],对t∈[to-h,to]的证明完全类似.y(t)在区间[to,to+上满足积分方 p()=xo+/f(r;(7)dr, 由{φn(t)}的构造,显然有 )-p(ols/1/(T: p(r) 由此及 Lipschitz条件,得 Ip1(t)-p(t)Is/If(;po(r))-f( p(r))ldr ≤L/-)hsEM(-b ML (t-t0)2 一般地,假设当k=m+1时, pm()-()1mn+1(-t+, 则当k= lPm+i(t)-p(t)ls/ If(:m(r)-f(T;p())ldr ≤L/|n(x)-()dr≤ MLm (m+ ML+ (m+2(t-t) 因此由数学归纳法知,对任意整数n都有当t∈[to,to+h]时: lyn(t)-y(t)≤ (n+1)(-to)”+1≤n47hn+1 即所给误差估计成立1 习 题 5.1 1. 设 x(t) = ϕ(t) 是初值问题 dx dt = f(t, x), x(t0) = x0 在区间 [t0 − h, t0 + h] 上的连续解, 其中 f(t, x) 在矩形区域 R = {(t, x) ∈ R 2 : |t − t0| ≤ a, |x − x0| ≤ b} 上连续, 在 R 上关于 x 满足 Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为 L, h = min{a, b M }, M = max{|f(t, x)| : (t, x) ∈ R}. 设 ϕn(t) 是 Picard 迭代序列中第 n 次迭代得到的函数, 证明有如下的误差估计: |ϕn(t) − ϕ(t)| ≤ MLn (n + 1)!h n+1 . 证明: 不妨设 t ∈ [t0, t0 + h], 对 t ∈ [t0 − h, t0] 的证明完全类似. ϕ(t)在区间[t0, t0 + h]上满足积分方 程 ϕ(t) = x0 + Z t t0 f(τ ; ϕ(τ ))dτ, 由{ϕn(t)}的构造，显然有 |ϕ0(t) − ϕ(t)| ≤ Z t t0 |f(τ ; ϕ(τ ))|dτ ≤ M(t − t0). 由此及Lipschitz条件，得 |ϕ1(t) − ϕ(t)| ≤ Z t t0 |f(τ ; ϕ0(τ )) − f(τ ; ϕ(τ ))|dτ ≤ L Z t t0 |ϕ0(τ ) − ϕ(τ )|dτ ≤ LM Z t t0 (τ − t0)dτ = ML 2! (t − t0) 2 . 一般地，假设当k = m + 1时, |ϕm(t) − ϕ(t)| ≤ MLm (m + 1)!(t − t0) m+1 , 则当k = m + 1时， |ϕm+1(t) − ϕ(t)| ≤ Z t t0 |f(τ ; ϕm(τ )) − f(τ ; ϕ(τ ))|dτ ≤ L Z t t0 |ϕm(τ ) − ϕ(τ )|dτ ≤ MLm+1 (m + 1)! Z t t0 (τ − t0) m+1dτ = MLm+1 (m + 2)!(t − t0) m+2 . 因此由数学归纳法知，对任意整数n都有当t ∈ [t0, t0 + h]时： |ϕn(t) − ϕ(t)| ≤ MLn (n + 1)!(t − t0) n+1 ≤ MLn (n + 1)!h n+1 . 即所给误差估计成立