Role定理 定理5.1.2(Rol定理)设函数f(x)在闭区间a,b]上连续,在开区 间(an,b)上可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f'(ξ)=0。 证由闭区间上连续函数的性质,存在ξ,n∈[a,b,满足 f(3)=M 和 其中M和m分别是f(x)在[a,b上的最大值和最小值。现分两种情况: (1)M=m。此时f(x)在[a,b上恒为常数,结论显然成立。 (2)M>m。这时M和m中至少有一个与f(a)(也即f(b)不相同, 不妨设 M=f(ξ)>f(a)=f(b), 因此ξ∈(a,b)显然是极大值点,由 Fermat引理 ∫'(ξ)=0。 证毕证 由闭区间上连续函数的性质，存在ξ, [, ] η ∈ a b ，满足 f M ( ) ξ = 和 f m ( ) η = ， 其中 M 和m分别是 f x( )在[, ] a b 上的最大值和最小值。现分两种情况： （1） M = m。此时 f x( )在[, ] a b 上恒为常数，结论显然成立。 （2） M > m。这时 M 和m中至少有一个与 f a( )（也即 f b( )）不相同， 不妨设 M f fa fb = () () () ξ > = ， 因此ξ ∈(, ) a b 显然是极大值点，由Fermat引理 f ′( ) ξ = 0。 证毕 Rolle定理 定理5.1.2(Rolle定理) 设函数 f x( )在闭区间[, ] a b 上连续，在开区 间(, ) a b 上可导，且 fa fb () () = ，则至少存在一点ξ ∈(, ) a b ，使得 f ′( ) ξ = 0