习题3.4闭区间上的连续函数 1.证明:设函数f(x)在[a,+∞)上连续,且limf(x)=A(有限数),则 f(x)在[a+∞)有界。 证由limf(x)=A(有限数),可知丑x>a,wx>x:(x)-4<1,即 A-1<f(x)<A+1。再由f(x)在闭区间[a,]上的连续性,可知f(x)在 aX上有界,即x∈[a,灯:(x)<B。令M=max{B,+1}, m=min{-B,A-1},则wx∈[a+∞),成立m<f(x)<M。 2.证明:若函数f(x)在开区间(ab)上连续,且fa+)和f(b)存在,则 它可取到介于f(a+)和(b)之间的一切中间值 证令 f(x)x∈(a,b) f(x)=f(a+) x=a f(b-) x=b 则f(x)在闭区间[ab连续,不妨设f(a+)<f(b-),由闭区间上连续函 数的中间值定理,可知f(x)在闭区间[a,b上可取到[f(a+),f(b-)上的 切值,于是f(x)在开区间(ab)上可取到介于fa+)和(b-)之间的 切中间值。 3.证明:若闭区间[a,b上的单调有界函数f(x)能取到(a)和fb)之间 的一切值,则f(x)是[ab上的连续函数 证采用反证法。不妨设f(x)单调增加。若ξ∈(a,b)是f(x)的不连续点, 则f(5-)与∫(5+)都存在,且f(a)≤f(2-)<f(2+)≤f(b),于是f(x)取不 到开区间(f(-),f(2+)中异于f()的值,与条件矛盾:若x=a是f(x)的习 题 3.4 闭区间上的连续函数 1. 证明：设函数 f x( ) 在[a,+∞)上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 limx→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 证 由 lim = A（有限数），可知 x→+∞ f x( ) ∃X > a ，∀x > X ： f (x) − A < 1，即 A −1 < f (x) < A +1。再由 在闭区间 上的连续性，可知 在 上有界，即 ： f (x) [a, X ] f (x) [a, X ] ∀x ∈[a, X ] f (x) < B 。 令 M = max{B, A +1} ， m = min{−B, A −1}，则∀x ∈[a,+∞)，成立m < f (x) < M 。 2. 证明：若函数 在开区间 上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则 它可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一切中间值。 f x( ) (a,b) 证 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，不妨设 f (a+) < f (b−)，由闭区间上连续函 数的中间值定理，可知 ( ) ~ f x 在闭区间 上可取到 上的 一切值，于是 在开区间 上可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一 切中间值。 [a,b] [ f (a+), f (b−)] f x( ) (a,b) 3. 证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间 的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 证 采用反证法。不妨设 f (x)单调增加。若ξ ∈ (a,b)是 的不连续点， 则 f (x) f (ξ −)与 f (ξ +)都存在，且 f (a) ≤ f (ξ −) < f (ξ +) ≤ f (b)，于是 取不 到开区间 f (x) ( f (ξ −), f (ξ +))中异于 f (ξ )的值，与条件矛盾；若 x = a是 f (x)的 51