习题 1指出下列常微分方程的阶数,并判断是否为线性 答:一阶线性方程 +2yx+3ry=0: 答:二阶非线性方程. 3)dx2+p()dx+q(a)y=f(a) 答:二阶线性方程 4)+cosy+a =0 答:一阶非线性方程 2.什么是常微分方程的解?它与代数方程的解有什么区别?何 谓微分方程的通解、特解?何谓初值问题? 答:在某区间Ⅰ上定义并且在区间Ⅰ上恒满足某常微分方程的 函数叫做该常微分方程在区间Ⅰ上的一个解.代数方程的解是满 足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要 区别是:常微分方程的解是在区间上定义的可微函数,它可以含有 任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常 微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解,通解不一定包 含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个n阶常微分 方程的解,要使这个解及它的直到n-1阶导数在某一点取给定的 些值.这样的问题叫初值问题 3.验证函数y=2+c√1-x2(其中c为任意常数)是微分方程 (1-x2)出+my=2x的通解,并求出满足初始条件y(0)=3的解 解:从函数方程解出c,得(y-2)/(1-x2)=c2,两边关于x求 导,得2(1-x2)(y-2)dy/dx+(y-2)2x]/(1-x2)2=0,经整理得微分 方程(1-x2)dy/dx+xy=2x 般的方法是将函数中的任意 常数c解出,对x求导后的微分方程就不含c了)再由初始条件 3=y(0)=2+c得c=1,满足初始条件的解是y=2+√1-x2 4.验证e-ex=c(这里c为任意常数是否为方程=cx-y 的通解 解:是.以exp()表示指数函数设由方程exp(y)-exp(x)=c 决定了一个函数y(x),即exp(y(x)-exp(x)≡c,两边对x求导得, exp(y(x)dly/dx-exp(x)=0,整理后就得dy/dx=exp(x-y),即含有 个任意常数c的隐函数exp(y)-exp(x)=c满足一阶微分方程,按 定义exp(y)-exp(x)=c是通解 5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等 于定长l,试求出此平面曲线应满足的微分方程 解:设(X,Y)为切线上的点,过切点(x,y)的切线方程为 Y-y=y(X-x),它与x与y轴的交点分别为(x-y/y,0)与& ' 1.1 1.()*+￾
, ,-./01: 1) dy dx = 4x 2 − y: 2: . 2) d 2y dx 2 + 2y dy dx + 3xy = 0: 2: #. 3) d 2y dx 2 + p (x) dy dx + q (x) y = f (x) 2: . 4) dy dx + cos y + x = 0. 2: #. 2. 34/￾
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1 − x 2 ¢ dy dx + xy = 2x = , ,])HIrst y (0) = 3 . : uJ ) c, v (y − 2 2 )/(1 − x 2 ) = c 2 , wxyz x ] ^,v 2[(1 − x 2 )(y − 2)dy/dx + (y − 2)2x]/(1 − x 2 ) 2 = 0, {|v￾
(1 − x 2 )dy/dx + xy = 2x. (}:  /~JX UV  c ), Z x ]^ ￾
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rst: 3 = y (0) = 2 + c v c = 1, HIrst / y = 2 + √ 1 − x 2. 4. op e y − e x = c (fc1UV)/01 dy dx = ex − y = . : /. S exp(·) 34(J.  exp(y) − exp(x) = c !
NJ y(x),  exp(y(x)) − exp(x) ≡ c, wxZ x ]^v, exp(y(x))dy/dx − exp(x) = 0, |￾v dy/dx = exp(x − y), T8 NUV c J exp(y) − exp(x) = c HI￾
, !E exp(y) − exp(x) = c /= . 5. \rDUj 2AwRC
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