常微分方程习题集 华东师范大学数学系 2003年9月
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常微分方程习题集目录 第一章基本概念和初等解法 1.1微分方程模型与基本概念 1 1.2初等解法 3 1.3基本理论问题 14 第二章线性微分方程组 2.1引论 19 2.2一般理论 22 2.3常系数线性微分方程组 27 2.4高阶线性微分方程 37 第三章定性和稳定性理论 3.1基本概念 44 3.2二阶系统的定性分析 47 3.3一般非线性系统零解的稳定性 50 1
1.1 1 1.2 3 1.3 14 2.1 19 2.2 22 2.3 27 2.4 37 !" 3.1 44 3.2 !" 47 3.3 # $ %! 50 1
习题 1指出下列常微分方程的阶数,并判断是否为线性 答:一阶线性方程 +2yx+3ry=0: 答:二阶非线性方程. 3)dx2+p()dx+q(a)y=f(a) 答:二阶线性方程 4)+cosy+a =0 答:一阶非线性方程 2.什么是常微分方程的解?它与代数方程的解有什么区别?何 谓微分方程的通解、特解?何谓初值问题? 答:在某区间Ⅰ上定义并且在区间Ⅰ上恒满足某常微分方程的 函数叫做该常微分方程在区间Ⅰ上的一个解.代数方程的解是满 足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要 区别是:常微分方程的解是在区间上定义的可微函数,它可以含有 任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常 微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解,通解不一定包 含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个n阶常微分 方程的解,要使这个解及它的直到n-1阶导数在某一点取给定的 些值.这样的问题叫初值问题 3.验证函数y=2+c√1-x2(其中c为任意常数)是微分方程 (1-x2)出+my=2x的通解,并求出满足初始条件y(0)=3的解 解:从函数方程解出c,得(y-2)/(1-x2)=c2,两边关于x求 导,得2(1-x2)(y-2)dy/dx+(y-2)2x]/(1-x2)2=0,经整理得微分 方程(1-x2)dy/dx+xy=2x 般的方法是将函数中的任意 常数c解出,对x求导后的微分方程就不含c了)再由初始条件 3=y(0)=2+c得c=1,满足初始条件的解是y=2+√1-x2 4.验证e-ex=c(这里c为任意常数是否为方程=cx-y 的通解 解:是.以exp()表示指数函数设由方程exp(y)-exp(x)=c 决定了一个函数y(x),即exp(y(x)-exp(x)≡c,两边对x求导得, exp(y(x)dly/dx-exp(x)=0,整理后就得dy/dx=exp(x-y),即含有 个任意常数c的隐函数exp(y)-exp(x)=c满足一阶微分方程,按 定义exp(y)-exp(x)=c是通解 5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等 于定长l,试求出此平面曲线应满足的微分方程 解:设(X,Y)为切线上的点,过切点(x,y)的切线方程为 Y-y=y(X-x),它与x与y轴的交点分别为(x-y/y,0)与
& ' 1.1 1.()*+ , ,-./01: 1) dy dx = 4x 2 − y: 2: . 2) d 2y dx 2 + 2y dy dx + 3xy = 0: 2: #. 3) d 2y dx 2 + p (x) dy dx + q (x) y = f (x) 2: . 4) dy dx + cos y + x = 0. 2: #. 2. 34/ 5 67 8349:5 ; ? 5 ;< @5 2: AB9C I D!E,FA9C I DGHIB JKLMA9C I D N . 7 /H I7 JO. 7 PQ 9:/: /A9CD!E RJ, 6RST8 UV. W7XYTZ[\J ]^_`. N n T8 n Nab UV K= , = Y!c Td8 . YT8UV K? . ]N n , QefN g6 hi n − 1 ^ABjkl! m@. fn K @. 3. opJ y = 2 + c √ 1 − x 2 ¡ (qX c 1UV)/ 1 − x 2 ¢ dy dx + xy = 2x = , ,])HI rst y (0) = 3 . : uJ ) c, v (y − 2 2 )/(1 − x 2 ) = c 2 , wxyz x ] ^,v 2[(1 − x 2 )(y − 2)dy/dx + (y − 2)2x]/(1 − x 2 ) 2 = 0, {|v (1 − x 2 )dy/dx + xy = 2x. (}: /~JX UV c ), Z x ]^ YT c rst: 3 = y (0) = 2 + c v c = 1, HI rst / y = 2 + √ 1 − x 2. 4. op e y − e x = c (fc1UV)/01 dy dx = ex − y = . : /. S exp(·) 34(J. exp(y) − exp(x) = c !NJ y(x), exp(y(x)) − exp(x) ≡ c, wxZ x ]^v, exp(y(x))dy/dx − exp(x) = 0, |v dy/dx = exp(x − y), T8 NUV c J exp(y) − exp(x) = c HI , !E exp(y) − exp(x) = c /= . 5. \ rDUj 2AwRC $ z!w l, ])_ r5HI . : (X, Y ) 12D jk q2j (x, y) 21 Y − y = y 0 (X − x), 6 x y \j:1 (x − y/y0 , 0) 1
(0,y-xy),所以所求的方程为(x-y/)2+(y-xy)2=12 价角均为知数面出线某任北宁面线与连定和与的连线之间的 解:由题意,tan( arctan y- arctan(y/x)=tana≡k,故由三角公式 得所求方程为(y-y/x)=k(1+yy/r) 7.求出曲线族(x-c1)2+(y-c2)2=所满足的微分方程,其中 c1,c2,e3为任意常数 解:方程两边对x求导一次得2(x-c1)+2(y-c2)y=0,再对x 求导一次得2+2y2+2y-c2)y,解出c2:c=y+(1+y2)/y",对其 关于x求导一次得所求的微分方程y+[(1+2)/y=0 8.一个容器盛盐的水溶液100升,净含盐10千克.现以每分钟3升 的流量注入净水使盐水冲淡,同时以每分钟2升的流量让盐水流出 设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均匀的,求出任意时刻t容 器中净盐量所满足的微分方程和定解条件. 解:设在t分钟时净盐量为r(t)千克,定解条件为初始条件: x(0)=10(千克),在时刻t(分)时,水溶液体积为(100+t)(升),盐浓 度为m+1(千克/升)按题意净盐量变化率出=1m0+,这就 是所求的微分方程 9*.假设二统在水中运动时主要的到两个力的作用,即由于运 动定析非所产生的零引力T和水的稳力D.记二统的速度为u.如 果运动定和二统一起的总质量为m,运动定为二统提供的不变有 效功率为p,稳力D与n2成正比,试建立二统速度的运动方程.提 小:1u=p 解:设D=kn2,k是比例系数,由牛顿第二定律得运动方程 mdu/dt=p/u-ku
(0, y − xy0 ), dSd] 1 (x − y/y0 ) 2 + (y − xy0 ) 2 = l 2 . 6. \ rDUj 2Mj';j RC %1 α, ])_ r5HI . : V, tan(arctan y 0 − arctan(y/x)) = tan α ≡ k, V ./ vd]1 (y 0 − y/x) = k(1 + yy0/x). 7. ])r (x − c1) 2 + (y − c2) 2 = c 2 3 dHI , qX c1, c2, c3 1UV. : wxZ x ]^1v 2(x − c1) + 2(y − c2)y 0 = 0, Z x ]^1v 2 + 2y 02 + 2(y − c2)y 00 , ) c2: c2 = y + (1 + y 02 )/y00 , Zq yz x ]^1vd] y 0 + [(1 + y 02 )/y00] 0 = 0. 8. N 100, T10. S3 }e , S2 ). X !"AU; #$/%& , ])UV # t XdHI '! st. : A t 1 x (t) , ! st1 rst: x (0) = 10(), A # t () , ()1 (100 + t) (), ! "1 x 100 + t (/), V, *+, dx dt = −2x 100 + t k f /d] . 9*. w AX_a PQ iwNk B9k z_ a!"#d(' $k T ' %k D. ^ h"1 u. p v_a!' & '{1 m, _a!1 ( Y*8 )*,1 p, %k D u 2 H6k b h" _a. ( 4: T u = p. : D = ku2 , k /zk +, !-v_ak mdu/dt = p/u − ku2 . 2
常数变易公式:一阶线性非齐次方程dx/dt+p(t)x=q()的 切解可以表示为x()=bM()(c+2(s)/()d)其中M()是对应的 线性齐次方程dr/dt+p(t)x=0的任一个确定的非零特解,可取 h(t)=exp(-p(t)dt)中一个特定的函数.其中exp(s)=e°表示指数 函数.c为任意常数.注意公式中的两个函数h(t)必须取同一个函 数 1.用分离变量法求解下列方程或初值问题: 0 解:y=cexp(∫-e2adx)=cexp(-e2/2) 2)sec2 a tan y d z + sec2 y tan r dy=0 解:原方程可化为 tan yd tanT+ tan a d tan y=0,从而 d( tan r tan y)=0,积分得通解 tan a tan y=c )+1 解:将原方程化为(x+1)eydy+(ey-2)dx=0,进而化为 +1)d(ey-2)+(ey-2)d(x+1)=0,即d【(x+1)(ey-2)=0,积分得 通解(x+1)(e-2)=c 解:将原方程化为6e3dx+6ye-y2dy=0,积分得通解 解:将方程化为eydy-erdx=0,积分得通解e-e=c. 6)x2(1-y)dy+y2(1+x)dx=0 解:当xy≠0时,将方程化为(1/x2+1/ax)dx+(1/y2-1/y)dy=0 积分得通解1/x+1/y+ln/(cr)=0.还有两个特解,x=0及y=0, 它们不包括在通解中 7)3e tan y dz 0,y(1)=丌/4 解:将原方程化为-3 tany d(er-1)+(e-1) d tan y=0,方程两边乘 以(a-1)-,得d[-1)-3tany=0,积分得通解(e-13tany= 即tany=c(e2-1)3,初值问题的解为y= arctan[lea-1)3/(e-1 8)x√1+y2+w1+x2出=0,y(0)=1 答:通解为√1+x2+√1+y2=c 初值问题的解为y=V( 9)(1+x)ydx+x(1-y)dy=0,y(2)=0 答:初值问题的解为y=0(不能从通解ln(xy)/c)=y-x中得 y(1)=0 解:将方程化为d(1+y2)/d(x2)=(1+y2)/{x2(1+x2),分离变量得 1+y2)/(1+y2)=1/x2-1/(1+x2)d(x2),积分得通解为
& ' 1.2 *-./: #01 dx/dt + p(t)x = q(t) 2 RS341 x(t) = h(t) ³ c + R t t0 q(s)/h(s) ds ´ qX h(t) /Z5 01 dx/dt + p(t)x = 0 UN6! #$? , Rk h(t) = exp(R −p(t) dt) XN?! J. qX exp(s) = es 34( J. c 1UV. }V./X wNJ h(t) 78k NJ . 1. 9:*] *+O @: 1) dy dx + ye 2x = 0 : y = c exp(R −e 2x dx) = c exp(−e 2x/2) 2) sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0 : ;R+1 tan y d tan x + tan x d tan y = 0, uW d (tan x tan y) = 0, )v= tan x tan y = c. 3) (x + 1) dy dx + 1 = 2e−y : ~;+1 (x + 1)ey dy + (ey − 2) dx = 0, 8wN? , x = 0 g y = 0, 6?Yc@A= X. 7) 3ex tan y dx + (1 − e x ) sec2 y dy = 0, y(1) = π/4 : ~;+1 −3 tan y d(ex−1)+(ex−1) d tan y = 0, wxA S (ex−1)−4 , v d h (ex − 1)−3 tan y i = 0, )v= (ex − 1)−3 tan y = c, tan y = c (ex − 1)3 , @ 1 y = arctan[[ex − 1)3 / (e − 1)3 ]. 8) x p 1 + y 2 + y √ 1 + x 2 dy dx = 0, y (0) = 1 2: = 1 √ 1 + x 2 + p 1 + y 2 = c. @ 1 y = r³√ 1 + x 2 − 1 − √ 2 ´2 − 1. 9) (1 + x) y dx + x (1 − y) dy = 0, y (2) = 0 2: @ 1 y = 0 (YBu= ln((xy)/c) = y − x Xv i). 10) xy ³ 1 + x 2 ´ dy dx = 1 + y 2 , y (1) = 0. : ~+1 d(1 + y 2 )/d(x 2 ) = (1 + y 2 )/[x 2 (1 + x 2 )], :*v d(1 + y 2 )/(1 + y 2 ) = [1/x2 − 1/(1 + x 2 )]d(x 2 ), )v= 1 3
(1+x2)(1+y2)=cx2,初值问题的解为(1+x2)(1+y2)=2x2解出 得y=±(x2-1)/(x2+1)1 2.将下列方程化为变量分离方程后求解 )(r +y d r-(a-ydy=0 解:将方程两边乘以2,再重新组合化为 2(xd+ydy)-2(xdy-ydx)=0,可见,可凑成微分 2(x2+y2) d arctan(y/x)=0,两边同除以x2+y2得: d(x2+y2)/(x2+y2)-2 arctan(y/x)=0,积分得通解 ln(x2+y2)-2 arctan(y/x)=c,(注:本题是齐次方程,也可按齐次方 程的通常解法求解,但较繁 2)y2dc+(x2-ry)dy=0 解:将方程重新组合化为-(xdy-ydr)+x2dy=0,凑微分得 x2yd(y/x)+x2dy=0,当xy≠0时,两边同除以x2y得 d(y/x)+dy/y=0,积分得通解:-y/x+lm(y/)=0,或化为 y=cexp(y/x);还有特解x=0不包括在通解中.特解y=0可以包 含在通解的后一种形式中 (注:本题是齐次方程,也可按齐次方程的通常解法求解) ry+y2 解:方程是齐次方程,引进新的未知函数u,满足关系式y=xu, 对x求导得关系式dy/dx=a+rdu/dx,将这两式代入方程,得 u+rd/dx=(2u2-)/(1-u+2),分离变量得 2/(u-1)-1/u-3/(u-2)d=2dx/x,积分得 ln[(u-1)2/(cu(u-2)3)=lnx2,或化为(u-1)2=cx2(a-2)3,以u=y/r 代入得通解(y-x)2=cy(y-2r)3,还有两个特解y=0,及y=2x,它 们不包括在通解中,分别对应于=0和u=2(注:与u=1对应的 解y=x可以包含在通解中(c=0时) 4)ady/dc= r exp(y /a)+y+r 解:方程是齐次方程,用变量代换y=xu,得变量分离方程 u/dx=exp()+1,进而写成dx/x+dexp(-u)/(exp(-u)+1)=0,积分 得:mn(x(exp(-a)+1)/c)=0,代回原变量得通解x(1+exp(-y/x)=c, In y)dy 解:方程是齐次方程,用变量代换y=xu,得变量分离方程: rdu/dx=-u(1+ln)/lnu,≠1/e时,化为 dIn u/(1+ 0,积分得lmru/(1+ln)=0.,代回原变 量得通解cy=1+lny-lnx,特解y=x/e包含在通解中 6)dy/dx=(2x-y+1)/(x-2y+1) 解:将方程化为微分形式并分组得 [(2 r+1)d. +(2y-1)dy]-(a dy =0,进而得 (x2+x+y2-y)-d(xy)=0,积分得通解 +y2+x-y-cy=c、(注:本题也可化为=2(+1/3)-(=1/3 后按齐次方程的解法来求解,但较繁) 7)dy/dx=(2x+3y+4)/(4x+6y+5)
(1 + x 2 )(1 + y 2 ) = cx2 , @ 1 (1 + x 2 )(1 + y 2 ) = 2x 2 ) y v y = ±[(x 2 − 1)/(x 2 + 1)]1/2 . 2. ~*++1*:] : 1) (x + y) dx − (x − y) dy = 0 : ~wxAS 2, CDE+1 2 (x dx + y dy) − 2 (x dy − y dx) = 0, RF, RGH d ¡ x 2 + y 2 ¢ − 2(x 2 + y 2 ) d arctan(y/x) = 0, wx IS x 2 + y 2 v: d(x 2 + y 2 )/(x 2 + y 2 ) − 2d arctan(y/x) = 0, )v= : ln(x 2 + y 2 ) − 2 arctan(y/x) = c, (}: /01, JR 01 = ] , KLM). 2) y 2 dx + (x 2 − xy) dy = 0 : ~CDE+1 −y(x dy − y dx) + x 2 dy = 0, Gv −x 2y d(y/x) + x 2 dy = 0, = xy 6= 0 , wx ISx 2yv: −d(y/x) + dy/y = 0, )v= : −y/x + ln(y/c) = 0, O+1 y = c exp(y/x); >8? x = 0 Yc@A= X. ? y = 0 RSc TA= NO/X. (}: /01, JR 01 = ] ). 3) dy dx = 2y 2 − xy x 2 − xy + y 2 : /01, 8wN? y = 0, g y = 2x, 6 ?Yc@A= X, :Z5z u = 0 ' u = 2 (}: u = 1 Z5 y = x RScTA= X (c = 0 )). 4) xdy/dx = x exp(y/x) + y + x : /01, 9*7P y = xu, v*: xdu/dx = exp(u)+1, <WQH dx/x+d exp(−u)/(exp(−u)+1) = 0, ) v: ln(x(exp(−u) + 1)/c) = 0, 7R;*v= x(1 + exp(−y/x)) = c, 5) x(ln x − ln y) dy − y dx = 0 : /01, 9*7P y = xu, v*:: xdu/dx = −u(1 + ln u)/ ln u, u = 1 6 /e k +1: dx/x + ln u d ln u/(1 + ln u) = 0, )v ln[cxu/(1 + ln u)] = 0, 7R;* v= cy = 1 + ln y − ln x, ? y = x/e cTA= X. 6) dy/dx = (2x − y + 1)/(x − 2y + 1) : ~+1O/,v: [(2x + 1) dx + (2y − 1) dy] − (x dy + y dx) = 0, <Wv d(x 2 + x + y 2 − y) − d(xy) = 0, )v= : x 2 +y 2 +x−y −xy = c. (}: JR+1 dy dx = 2(x + 1/3) − (y − 1/3) (x + 1/3) − 2(y − 1/3) 01 T] , KLM). 7) dy/dx = (2x + 3y + 4)/(4x + 6y + 5) 4
解:令u=2x+3y,故du/dx=2+3dy/dx=2+3(u+4)/(2u+5) 即d/dx=(7u+22)/(2a+5),7u+22=0时,得特解14x+21y+22=0, 7+22≠0时,分离变量得②2-9/(7+2)]d=7dx,积分得 2u-9/7ln(7u+22)/d]=7x,代回原变量整理得通解 7(2y-x)-3ln(14x+21y+2)/d=0.另一形式为 14x+21y+22=cexp(7(2y-x)/3),特解14x+21y+22=0包含在通 解的后一形式中 8)dy/dx=(x+1)2+(4y+1)2+8xy+1 解:可见dy/dx=(x+4y+1)2+2,故令t=x+4y+1,从而 du/dx=1+4dy/dx=1+4(2+2)=42+9,即du/d=4n2+9,分离 变量得34(2u)/(42+9)=6dx,积分得: arctan(2u/3)=6x+c代回原 变量整理得通解 arctan(2x+8y+2)/3)=6x+c. dx=(y6-2x2)/(2xy5+x2y2) 解:将原方程化为d(y3)/dx=3(y3)2-2x21/(2xy3+x2),令v=y3 得齐次方程d/dx=3(2-2x2)/(x+x2),故令=xu,对x求 导得d/dx=u+rdu/dx=3(2-2)/(2u+1).即得变量分离方程 rda/dx=(u-3)(u+2)/(2u+1,分离变量得 (x-3)+3/(+2)du=5dx/x.积分得7ln|u-3l+3lnl+2|=5ln(cr) 代回原变量得通解(y3-3x)7(y3+2m)3=c15.(注:对应于u=3及 u=-2的特解包含在通解中) 10)dy/dx=(2x3+3xy2+x)/(3x2y+2y3-y) 解:将原方程化为 d(y2)/d(x2)=[2(x2-1)+3(y2+1)/3(x2-1)+2(y2+1)从而可令 u=x2-1,v=y2+1,原方程化为齐次方程dv/du=(2u+30)(3u+2a), 得变量分离方程w/u=2(1-2)(2m+3).分离变量得3 令U=,对u求导得,dv/da=+udu/da=(3u+2)/(2u+3).即 1/(+1)-5/(-1)da=4du/u,积分得 lnlu+1-5lmlu-l}=4lnla+c,代回原变量整理得通解 (y2-x2+2)5=c(x2+y2).(注:对应于v=1的特解包含在通解中) 用常数变易公式求解下列(可化为)线性方程或 Bernoulli方 程的通解或初值问题 1)dy/dr=y+sin: c 解:取线性齐次方程dy/dx-y=0的一个特解hx)=exp(x),应 用常数变易公式得 y=exp(a)c+sin r exp(a)d r= cexp(a)-(sin c +cos )/2 2)d r/dt exp(2t)-3c 解:取对应的齐次方程的一个特解为h(t)=exp(-3t),应用常数 变易公式得:x=exp(-3)c+∫ep(5t)d]=cexp(-3t)+exp(2t)/5 3 dy/dc-ny/a=rnexp(a) 答:y=x"(c+exp(x) 4)dy/dx+(1-2r)y/x2-1=0 解:取对应的齐次方程的一个特解h(x)=x2exp(1/x),应用常数 变易公式得y=x2exp(1/a)+∫exp(-1/x)d(-1/x)]=x2 [cexp(1/x)+1] 5 dy/dr=ytan r +cos c
: U u = 2x + 3y, V du/dx = 2 + 3dy/dx = 2 + 3(u + 4)/(2u + 5), du/dx = (7u + 22)/(2u + 5), 7u + 22 = 0 , v? 14x + 21y + 22 = 0, 7u + 22 6= 0 , :*v [2 − 9/(7u + 22)] du = 7 dx,, )v, 2u − 9/7 ln[(7u + 22)/c] = 7x, 7R;*|v= 7(2y − x) − 3 ln[(14x + 21y + 22)/c] = 0. WO/1 14x + 21y + 22 = c exp(7(2y − x)/3), ? 14x + 21y + 22 = 0 cTA= O/X. 8) dy/dx = (x + 1)2 + (4y + 1)2 + 8xy + 1 : RF dy/dx = (x + 4y + 1)2 + 2, VU u = x + 4y + 1, uW du/dx = 1 + 4dy/dx = 1 + 4(u 2 + 2) = 4u 2 + 9, du/dx = 4u 2 + 9, : *v3d(2u)/(4u 2 + 9) = 6 dx, )v: arctan(2u/3) = 6x + c, 7R; *|v= arctan((2x + 8y + 2)/3) = 6x + c. 9) dy/dx = (y 6 − 2x 2 )/(2xy5 + x 2y 2 ) : ~;+1 d(y 3 )/dx = 3[(y 3 ) 2 − 2x 2 ]/(2xy3 + x 2 ), U v = y 3 , v01 dv/dx = 3(v 2 − 2x 2 )/(2xv + x 2 ), VU v = xu, Z x ] ^v dv/dx = u + xdu/dx = 3(u 2 − 2)/(2u + 1). v*: xdu/dx = (u − 3)(u + 2)/(2u + 1), :*v [7/(u−3)+3/(u+2)] du = 5dx/x. )v 7 ln |u−3|+3 ln |u+2| = 5 ln(cx). 7R;*v= (y 3 − 3x) 7 (y 3 + 2x) 3 = cx15. (}: Z5z u = 3 g u = −2 ? cTA= X). 10) dy/dx = (2x 3 + 3xy2 + x)/(3x 2y + 2y 3 − y). : ~;+1 d(y 2 )/d(x 2 ) = [2(x 2 − 1) + 3(y 2 + 1)]/[3(x 2 − 1) + 2(y 2 + 1)]. uWRU u = x 2 − 1, v = y 2 + 1, ;+101dv/du = (2u + 3v)(3u + 2v), U v = uw, Z u ]^v, dv/du = w + udw/du = (3w + 2)/(2w + 3). v*: udw/du = 2(1 − w 2 )(2w + 3). :*v [1/(w + 1) − 5/(w − 1)] dw = 4du/u, )v: ln |w + 1| − 5 ln |w − 1| = 4 ln |u| + c, 7R;*|v= (y 2 − x 2 + 2)5 = c(x 2 + y 2 ). (}: Z5z w = 1 ? cTA= X) 3. 9*-./] *+ (R+1 O Bernoulli = O @: 1) dy/dx = y + sin x : k01 dy/dx − y = 0 N? h(x) = exp(x), 5 9*-./v: y = exp(x)[c + R sin x exp(−x) dx] = c exp(x) − (sin x + cos x)/2. 2) dx/dt = exp(2t) − 3x : kZ5 01 N? 1 h(t) = exp(−3t), 59 *-./v: x = exp(−3t)[c + R exp(5t) dt] = c exp(−3t) + exp(2t)/5. 3) dy/dx − ny/x = x n exp(x) 2: y = x n (c + exp(x)). 4) dy/dx + (1 − 2x)y/x2 − 1 = 0 : kZ5 01 N? h(x) = x 2 exp(1/x), 59 *-./v y = x 2 exp(1/x)[c+ R exp(−1/x) d(−1/x)] = x 2 [c exp(1/x)+1]. 5) dy/dx = y tan x + cos x 5
解:取对应的齐次方程的一个特解为h(x)=1/cosx=secx,应 用常数变易公式得y= secac+∫cos2rdar]=[(x+2c)secx+sinl/2 6)dy/dc-y=2. c exp(2 r), y0)=1 答:通解为y=cexp(x)+2(x-1)exp(2x),初值问题的解为 y=exp(a)+2(a-1)exp(2 r) 7)ryIn y dz+(z2-Iny)dy=0 解:方程两边同乘2/y方程化为lmyd(x2)+2(x2-lny)dlny=0, y≠1时,进而化为线性方程d(x2)/dlny+2x2/mny=2,利用常数变 易公式得通解,x2=c/ln2y+2/3lmy,特解y=1不包含在通解中 8)dy/dx+2y/(x+1)=(x+1)3 答:y=c(x+1)-2+(x+1)4/6 9)同例1.6,略 a33 解:是 Bernoulli方程,当y≠0时,先将它化为线性方程 d(y-2)dx=2xy-2-2x3,应用常数变易公式得通解为 y-2=cexp(x2)+x2+1,还有特解y=0(不包含在通解中) 11)dy/dr=1/(xy+x3y3) 解:将自变量与因变量交换得 Bernoulli方程江=m+x,将 它化为线性方程d(x-2)dy=-2yx-2-2y3,从而应用常数变易公式 得通解: 2) dy/dr=a(3r + exp(y)) 解:将方程化为线性方程dexp(-y)/dx+3exp(-y)/x=-1/x2,应 用常数变易公式进而得通解exp(-y) 13)dy/dr=(x4+y3)/(xy2) 解:是 Bernoulli程,可化为线性方程d(y3)/dx-3y3/x=3x3,积 分得通解:y3=cr3+3x4 14)dy/dr= 1/(a cos y+ sin 2y) 解:将自变量与因变量交换得线性方程dr/dy= COS y+sin(2y), 取对应的齐次方程的一个特解为x=h(y)=exp(siny),从而应用常 数变易公式得x=2exp(siny)c+∫ sIn y exp(-siny) sinyi,积分得通 解: p(sin g)-2(1 +sin g) 4.利用全微分方程题1-6,12)和用积分因子方法,题7-11)求出下 列方程的解 1)(x2+y)dx+(x-2y)dy=0 e解组为①积分得通解++=该做分得 +(1-rexp(-u))dy 解:将方程分组为(exp(-y)dx-rexp(-y)dy)+dy=0,凑微分得 d(rexp(-y)+dy=0,积分得通解:xexp(-y)+y=c 3)(y-3x2)dx-(4y-x)dy=0 解:将方程分组为(ydx+xdy)-(3x2dx+4ydy)=0,凑微分得 (xy)-d(x3+2y2)=0,积分得通解:xy-x3-2y2= 4)(9x2+y-1)dx-(4y-x)dy=0
: kZ5 01 N? 1 h(x) = 1/ cos x = sec x, 5 9*-./v y = sec x[c + R cos2 x dx] = [(x + 2c) sec x + sin x]/2. 6) dy/dx − y = 2x exp(2x), y(0) = 1 2: = 1 y = c exp(x) + 2(x − 1) exp(2x), @ 1 y = 3 exp(x) + 2(x − 1) exp(2x). 7) xy ln y dx + ¡ x 2 − ln y ¢ dy = 0 : wx A 2/y +1 ln y d(x 2 ) + 2(x 2 − ln y) d ln y = 0, y 6= 1 , 8? y = 0 (YcTA= X). 11) dy/dx = 1/(xy + x 3y 3 ) : ~Z*[*\Pv Bernoulli dx dy = xy + x 3 y 3 , ~ 6+1 d(x −2 )/dy = −2yx−2 − 2y 3 , uW59*-./ v= : x −2 = c exp(−y 2 ) + 1 − y 2 . 12) dy/dx = x −2 (3x + exp(y)) : ~+1 d exp(−y)/dx + 3 exp(−y)/x = −1/x2 , 5 9*-./<Wv= exp(−y) = cx−3 − (2x) −1 . 13) dy/dx = (x 4 + y 3 )/(xy2 ) : / Bernoulli , R+1 d(y 3 )/dx − 3y 3/x = 3x 3 , ) v= : y 3 = cx3 + 3x 4 . 14) dy/dx = 1/(x cos y + sin 2y) : ~Z*[*\Pv dx/dy = x cos y + sin(2y), kZ5 01 N? 1 x = h(y) = exp(sin y), uW59 *-./v x = 2 exp(sin y)[c + R sin y exp(− sin y) d sin y], )v= : = c exp(sin y) − 2(1 + sin y). 4. X9](1–6,12)'9)[d,(7–11)])* + 1) ¡ x 2 + y ¢ dx + (x − 2y) dy = 0 : ~1 (x 2 dx − 2y dy) + (y dx + x dy) = 0, Gv (x 2 dx − 2y dy) + d(xy) = 0, )v= : x 3/3 − y 2 + xy = c. 2) exp(−y) dx + (1 − x exp(−y)) dy = 0 : ~1 (exp(−y) dx − x exp(−y) dy) + dy = 0, Gv d(x exp(−y)) + dy = 0, )v= : x exp(−y) + y = c. 3) (y − 3x 2 ) dx − (4y − x) dy = 0 : ~1 (y dx + x dy) − (3x 2 dx + 4y dy) = 0, Gv d(xy) − d(x 3 + 2y 2 ) = 0, )v= : xy − x 3 − 2y 2 = c. 4) (9x 2 + y − 1) dx − (4y − x) dy = 0 6
解:将方程分组为[(9x2-1)dx-4ydl+(ydx+xdy)=0,凑微分 得d(3x3-x-2y2)+d(xy)=0,积分得通解:3x3-x-2y2+xy=c. 5)ly sin(/y)-yr-cos(y/ x)+1]dr +[e-l cos(y/)-ry-2sin(z/y)+y-2dy=0 解法一:记M(x,y)=y-lsin(x/y)-yx-2cos(y/x)+1 N(a, y)=a cos(y/a)-ry"sin(a/y)+y 可得aM(x,y)/y=aN(x,y)/0x,因此方程是恰当的.设其积分 为U(x,y)=c,则OU(x,y/y=N(x,y),关于y积分,得 U(x,y)=/-cos(y/)-xy-2sin(x/y)+y-21y sin(y/a)-cos (a/y)-1/y+c(a) 其中c(x)是待定的x的函数为求c(x),利用恒等式 OU(x,y)/0x=M(x,y),可得c(x)=1,故可取c(x)=x.所以积分为 U(r, y)=c, Ip U(a, y)=sin(y/x)-cos(c/3)-1/y+r 解法二个将微分方程组合为sin(x/y)/ydx-rsin(x/y)/y2dyl ycos(y/x)/x2dx+cos(y/x)/rdl+dx+1/y2d=0,凑微分,积 分得个-cos(x/y)+sin(y/a)+x-1/y=c 6)2.c(y exp(ax)-1)d r + exp(a)dy 解:将原方程化为[d(exp(x2)+exp(x2)dyl-2rdr=0,凑微分得 d(y exp(x2)-d(x2)=0,积分得通解yexp(x2)-x2=c,或解出显函数 形式:y=(c+x2)exp(-x2) 7)(exp(ar)+3y )dr +2 ry dy=0 解:将方程分组成(3y2dx+2rydy)+exp(x)dx=0,凑微分得 x-2d(x3y2)+exp(x)dx=0,可见积分因子可取为x2,从而化成全微分 方程d(x3y2)+x2exp(x)dr=0,积分得通解x3y2+exp(x)(x2-2x+2)=c 8(3+y +r)dr +ry dy=0 解:将方程分组成(x2+x)dx+(y2dx+xydy)=0,凑微分得 (x2+x)dx+(2x)-1d(x23y2)=0,可见积分因子可取为12x,从而化成全 微分方程12x(x2+x)dx+6d(x23y2)=0,积分得通解3x4+4x3+6x2y2=c. 9)(a+2y) dr +ady=0 解:将方程分组成rdx+(2ydx+xdy)=0,凑微分得 rdx+x-ld(x2y)=0,可见积分因子可取为3x,从而化成全微分方程 3x2dx+3d(x2y)=0,积分得通解x3+3x23y=c 解:将方程分组成2ry2dx+(ydx-rdy)=0,凑微分得 xy2dx+y2d(x/y)=0,可见积分因子可取为y-2,从而化成全微分 方程2rdx+d(x/y)=0.积分得通解x2+x/y=c,还有特解y=0不 包含在通解中.它是原方程两边除以零而丢失的解. 11)[y-x(x2+y2)]dx-rdy=0 解:将方程分组成-x(x2+y2)dx-(xdy-ydx)=0,凑微分得 r(x2+y2)dx-(x2+y2) d arctan(y/x)=0,可见积分因子可取为 2/(x2+y2),从而化成全微分方程2xdx+2 d arctan(y/x)=0,积分得 通解x2+2 arctan(y/x)
: ~1 [(9x 2 − 1) dx − 4y dy] + (y dx + x dy) = 0, G v d(3x 3 − x − 2y 2 ) + d(xy) = 0, )v= : 3x 3 − x − 2y 2 + xy = c. 5) [y −1 sin(x/y) − yx−2 cos(y/x) + 1] dx +[x −1 cos(y/x) − xy−2 sin(x/y) + y −2 ] dy = 0 : ^ M(x, y) = y −1 sin(x/y) − yx−2 cos(y/x) + 1, N(x, y) = x −1 cos(y/x) − xy−2 sin(x/y) + y −2 , Rv ∂M(x, y)/∂y = ∂N(x, y)/∂x, [_/`= . q) 1 U(x, y) = c, a ∂U(x, y)/∂y = N(x, y), yz y ), v U(x, y) = Z [x −1 cos(y/x) − xy−2 sin(x/y) + y −2 ]∂y = sin(y/x) − cos(x/y) − 1/y + c(x) qX c(x) /b! x J. 1] c(x), X9G / ∂U(x, y)/∂x = M(x, y), Rv c 0 (x) = 1, VRk c(x) = x. dS)1 U(x, y) = c, qX U(x, y) = sin(y/x) − cos(x/y) − 1/y + x. N ~E1 [sin(x/y)/y dx − x sin(x/y)/y2 dy] +[−y cos(y/x)/x2 dx + cos(y/x)/x dy] + [dx + 1/y2 dy] = 0, G,) vN − cos(x/y) + sin(y/x) + x − 1/y = c 6) 2x(y exp(x 2 ) − 1) dx + exp(x 2 ) dy = 0 : ~;+1 [y d(exp(x 2 )) + exp(x 2 ) dy] − 2x dx = 0, Gv d(y exp(x 2 )) − d(x 2 ) = 0, )v= y exp(x 2 ) − x 2 = c, O )cJ O/: y = (c + x 2 ) exp(−x 2 ). 7) (exp(x) + 3y 2 ) dx + 2xy dy = 0 : ~H (3y 2 dx + 2xy dy) + exp(x) dx = 0, Gv x −2 d(x 3y 2 )+exp(x) dx = 0, RF)[dRk1 x 2 , uW+H] d(x 3y 2 )+x 2 exp(x) dx = 0, )v= x 3y 2+exp(x)(x 2−2x+2) = c. 8) (x 2 + y 2 + x)dx + xy dy = 0 : ~H (x 2 + x) dx + (y 2 dx + xy dy) = 0, Gv (x 2+x) dx+(2x) −1 d(x 2y 2 ) = 0, RF)[dRk1 12x, uW+H] 12x(x 2+x) dx+6d(x 2y 2 ) = 0, )v= 3x 4+4x 3+6x 2y 2 = c. 9) (x + 2y) dx + x dy = 0 : ~H x dx + (2y dx + x dy) = 0, Gv x dx + x −1d(x 2y) = 0, RF)[dRk1 3x, uW+H] 3x 2 dx + 3d(x 2y) = 0, )v= x 3 + 3x 2y = c. 10) (2xy2 + y) dx − x dy = 0 : ~H 2xy2 dx + (y dx − x dy) = 0, Gv 2xy2 dx + y 2 d(x/y) = 0, RF)[dRk1 y −2 , uW+H] 2x dx + d(x/y) = 0, )v= x 2 + x/y = c, >8? y = 0 Y cTA= X. 6/;wxIS$Wef . 11) [y − x(x 2 + y 2 )] dx − x dy = 0 : ~H −x(x 2 + y 2 ) dx − (x dy − y dx) = 0, Gv −x(x 2 + y 2 ) dx − (x 2 + y 2 ) d arctan(y/x) = 0, RF)[dRk1 −2/(x 2 + y 2 ), uW+H] 2x dx + 2d arctan(y/x) = 0, )v = x 2 + 2 arctan(y/x) = c. 7
12)2ry-3dx+y-4(y2-3x2)dy=0. 解:将)程化次國-3d(x2)+x2dy-3)-d(y-1)=0.,凑微分得 d(y-3x2)-d(y-1)=0,积分得当解x2y-3-y-1=c 5.全解变化隐)程: 1)y2-3y/+2= 解:分解因式得(y-1)(y-2)=0,故由y′=1,得当解y=x+c, 由y′=2,得当解y=2x+c 2)y=2xy+x2y/4 解:引进参数p=y,)程回写成参数形式 P, (1) y=2 rp+a p (2) 次消去变量y,将(2)式对x全记后减去(1)式,得p,设x的微分 )程2p+2rdp/dx+2xp4+4x2p3dp/dx-p=0,整理得 (1+2xp3)(p+2xdp/dr)=0.由1+2xp3=0,解积p=-(2x)-1/3,代 入(2)式得特解y=-3/4(4x2)1/,由P+2xdp/dx=0,积分得 p=c(±x)-1/2,代入(2)式得当解:y=2c(±x)1/2+c4.(注故:全积p后 不能代入(1)式再积分,齐则会得到一个不式“令故的常数的解,因 次得到的解还必须成除(2)式) t y 解:令dy/dx=1/t,则得参数形式的微分)程 3+t2,da/dy=t,次消去变量x,将前式对y全记后减去后式 得t,设y的微分)程(22+2)dt/dy-t=0,即dy=(3t+2)dt,积分得 y=32/2+2t+c,从另得参数形式的当解:x=t3+t2,y=32/2+2+c 4)y2+(x+y)y+xy=0 解:分解因式得(y′+x)(y+y)=0.故由y=-x,得当解 =-x2/2+c,由y=-y,得当解y=cexp(-x) 5)y=2xy+x2/2+y 解:引进参数p=y,)程回写成参数形式 y 2xp+x2/2+p2=(p+x)2-x2/2 次消去变量y,将(2)式对x全记后减去(1)式,得p设x的微分 )程2(P+x)(dp/dx+1)-x-p=0,整理得(x+p)(2dp/dx+1)=0, 由p=-x,代入(2)式得特解: x2/2,由2dp/dx+1=0,积分得 p=-x/2+c,代入(2)式得当解:y=(x/2+c)2-x2/2 6)y=ry'+y 解:式 Clairaut)程,故当解次y=cx+c-c2,两边再关于c 全记得 x+1-2c,即c=(x+1)/2,代入当解表达式得特解 y=(x+1)2/4
12) 2xy−3 dx + y −4 (y 2 − 3x 2 ) dy = 0. : ~+1 [y −3 d(x 2 ) + x 2 d(y −3 )] − d(y −1 ) = 0, Gv d(y −3x 2 ) − d(y −1 ) = 0, )v= x 2y −3 − y −1 = c. 5. ] *+ : 1) y 02 − 3y 0 + 2 = 0 : [/v (y 0 − 1)(y 0 − 2) = 0, V y 0 = 1, v= y = x + c, y 0 = 2, v= y = 2x + c. 2) y = 2xy0 + x 2y 04 : 78HI(2)/) 3) xy03 = 1 + y 0 : U dy/dx = 1/t, avgO/ x = t 3 + t 2 , dx/dy = t, 1.E* x, ~l/Z y ]^E/k v t, y (2t 2+2t) dt/dy−t = 0, dy = (3t+2) dt, )v y = 3t 2/2+2t+c, uWvgO/ = : x = t 3+t 2 , y = 3t 2/2+2t+c. 4) y 02 + (x + y) y 0 + xy = 0 : [/v (y 0 + x)(y 0 + y) = 0, V y 0 = −x, v= y = −x 2/2 + c, y 0 = −y, v= y = c exp(−x). 5) y = 2xy0 + x 2/2 + y 02 : <g p = y 0 , RQHgO/ y 0 = p, (1) y = 2xp + x 2 /2 + p 2 = (p + x) 2 − x 2 /2. (2) 1.E* y, ~ (2) /Z x ]^E (1) /k v p, x 2(p + x)(dp/dx + 1) − x − p = 0, |v (x + p)(2 dp/dx + 1) = 0, p = −x, 7(2)/v? : y = −x 2/2, 2 dp/dx + 1 = 0, )v p = −x/2 + c, 7(2)/v= : y = (x/2 + c) 2 − x 2/2. 6) y = xy0 + y 0 − y 02 : / Clairaut , V= 1 y = cx + c − c 2 , wxyz c ]^v, 0 = x + 1 − 2c, c = (x + 1)/2, 7= 3i/v? y = (x + 1)2/4. 7) y 02 + 2xy0 + 2y = 0 8
