《数学分析—幂级数》第十一章 幂级数（习题课）

第十一章 习题课

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幂级数 (1)定义 形如∑an(x-x0)的级数称为幂级数 n=0 oo 当x=0时,∑ H=0 其中an为幂级数系数 上页

(1) 定义 形如 n n an (x x ) 0  0  = − 的级数称为幂级数. 0 , 当x0 = 时 其中an为幂级数系数. 1、 n n n a x  =0 幂级数

(2)收敛性 定理1(Abe定理 如果级数∑anx在x=x0(x0≠0)处收,则 n=0 王它在满足不等式xx的一切处发散 上页

如果级数  n=0 n an x 在x = x0处发散,则它在满足 不等式 x  x0 的一切x 处发散. 定理 1 (Abel 定理) 如果级数  n=0 n an x 在 ( 0) x = x0 x0  处收敛,则 它在满足不等式 x  x0 的一切x 处绝对收敛; (2) 收敛性

推论 如果幂级数∑ax“不是仅在x=0一点收敛也 n=0 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质 当xR时,幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散 上页

如果幂级数  n=0 n an x 不是仅在x = 0一点收敛,也 不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定 的正数R存在,它具有下列性质: 当 x  R时,幂级数绝对收敛; 当 x  R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 推论

定义:正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 o 定理2如果幂级数∑anx"的所有系数an≠0, 黑设im=p(或 lima/an=p) n→Q n→0 n (1)则当p≠0时,R=;(2)当p=0时,R=+0; (3)当p=+时,R=0 上页

定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 定理 2 如果幂级数  n=0 n an x 的所有系数an  0, 设 =  + → n n n a a 1 lim (或 =  → n n n lim a ) (1) 则当  0时,  = 1 R ; (3) 当 = +时,R = 0. (2) 当 = 0时,R = + ;

(3)幂级数的运算 a.代数运算性质: 设∑anx和∑bx的收敛半径各为R和R2, =0 H=0 R=minRi, r21 加减法 oO ∑anx"±∑bnx"=∑cnx".x∈(-R,R) n=0 H=0 =0 (其中Cn=an±bn) 王页下

a.代数运算性质: 加减法    =  =  0 n 0 n n n n an x b x . 0   = = n n cn x (其中 R = minR1 ,R2 ) n an bn c =  x (− R,R) , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 n 和 的收敛半径各为 和  =  = (3)幂级数的运算

乘法 庄②ax")②“)=∑cx.xe(R) 0 H=0 n=0 (其中Cn=0·bn+a1·bn1+…+anb0) 除法 收敛域内∑bx"≠0) =0 ∑ a. n n H=0 ∑cnx 王∑bx H=0 H=0 上页

乘法 ( ) ( ) 0 0    =  =  n n n n n an x b x . 0   = = n n cn x x (− R,R) (其中 ) a0 b a1 b 1 a b0 cn n n n =  +  + +  −  除法    =  = 0 0 n n n n n n b x a x . 0   = = n n cn x ( 0) 0    n= n 收敛域内 bn x

crb.和函数的分析运算性质 幂级数∑ax"的和函数(x)在收敛区间 H=0 王(R,R内连续在端点收敛则在端点单侧连续 幂级数∑anx的和函数(x)在收敛区间 H=0 (-R,R)内可积且对vx∈(R,R)可逐项积分 幂级数∑ax"的和函数(x)在收敛区间 (-R,R)内可导,并可逐项求导任意次 上页

b.和函数的分析运算性质: 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续. 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内可积,且对x (−R,R)可逐项积分. 幂级数  n=0 n an x 的和函数s(x)在收敛区间 (−R,R)内可导, 并可逐项求导任意次

2、幂级数展开式 (1)定义 如果f(x)在点x处任意阶可导,则幂级数 生∑《x-x)称为/(在点x的勒级数 n=0 王f“称为(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 nk 上页

2、幂级数展开式 如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为 f (x)在点x0的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为f (x)在点x = 0的麦克劳林级数. (1) 定义

(2)充要条件 c定理f(x)在点x的泰勒级数在U(x0)内收 敛于∫(x)分在U(x0)内imRn(x)=0 ⑧唯一性 平定理如果函数f(x)在Ux)内能展开成x-xn) 的幂级数,即f(x)=∑a1(x-x) n-=0 则其系数an=f"(xn) (n=0,1,2,…) 且展开式是唯一的 上页

定 理 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . (2) 充要条件 (3) 唯一性 定 理 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = , 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且展开式是唯一的