《数学分析—幂级数》第十一章 幂级数（11.2）函数的幂级数展开

第二节 函数的幂级数展开 上页

第二节 函数的幂级数展开

庄一、泰勒级数 压上节例题∑(12xX=1m+)(1x≤D 王/2∑(=x)y在级数在其收敛 问题:1.如果能展开,mn是什么? 2展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 王页下

一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1  − = + −    = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 =  −  = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?

上定理1如果函数f(x)在U(x)内具有任意阶导 数,且在U(x)内能展开成(x-x)的幂级数 生即f(x)=∑4(x-x 生则其系数,=厘/"(x) (n=0,1,2,) 且展开式是唯一的 王证明∵∑(x-x)”在(x收敛于(x)即 0 牛f(x)=a+a(x-x)+…+a(x-xn)+… 上页

证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n  n −  =  f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 =  −  = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 且展开式是唯一的

逐项求导任意次得 f(x)=a1+2a2(x-x0)+…+nan(x-x0)”+… f(x)=nan+(n+1)n…3·2an1(x-x0)+ 令x=x,即得 工工工 S 尔((x0) (n=0,1,2,…)泰勒系数 牛泰勒系数是唯一的,∫(x)展开式是唯一的 上页

f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n =  n a n n 泰勒系数是唯一的,  f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得  泰勒系数

定义如果f(x)在点x处任意阶可导则幂级数 ∑A(x-x)称为/(在点x的整勒级数 n=0 生∑ f)(0) x"称为f(x)在点x=0的麦克劳林级数 n=0 王间题(y2 ()(x0(x-xn) n-=0 泰勒级数在收敛区间是否收敛于八x)?不一定 上页

如果 f (x)在点x0处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( )  −  = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f   =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( )  −  = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定

例如f(x)={2 x≠0 0,x=0 王在=0点任意可导,且f(0)=0(m=012,) 庄(x)麦氏级数为∑0x 王该级数在(+内和函数()=0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x) 上页

    =  = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n =    =   0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x)  0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导

庄定理21(在点x的泰勒级数在U(x)内收 敛于∫(x)分在U(x0)内lmRn(x)=0 n→ 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, /()=2( (x-xo)+rn(x) i=0 i EF:R, (x)=f(x)-suni(x),. lim Sui (x)=f(x) lim r,(x)=limf(x)-sm1(x)=0; n→0 上页

定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i =  − + =  ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = →   = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;

充分性∵∫(x)-sn1(x)=Rn(x) LL lim[f(x)-Snt+(x)1=lim R, (x)=0, n→0 即 lim s1(x)=∫(x), n→0 /)的秦勒级数收敛于(x 定理3设∫(x)在U(x)上有定义,丑M>0,对 x∈(xn-R,x+R,恒有f(x)≤M (n=0,2,,则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数 上页

充分性 ( ) ( ) ( ),  f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + →  − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即  f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M  0,对 ( , )  x  x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( )  ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数

证明 (n+1) n+1 CT R,(x) (号 (x-xn)+1 (n+1) )≤M x-x 0 (n+1) 庄x-x n+1 x∈(x0-R,x0+R) h(n+1) 在(-∞,+0)收敛, n+1 王:hmKx,=0,故lmE(x)=0 n→ x∈(x0-R,x0+R) 牛:可展成点的泰勒级数 上页

证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x   , ( 1)! 1 0 + −  + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + −   = + n n n x x  0, ( 1)! lim 1 0 = + −  + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R

生三、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:(1)求a,∫m(x 0); n! (2)讨论mR,=0或f(x)sM, n →0 则级数在收敛区间内收敛于∫(x) 上页

二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n =  → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)