第九节曲率 弧微分 曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径 巴四、小结思考题
、弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 AM R 基点:A(x0,y), M(x,y)为任意一点, 0 x。xx+△x 王规定①曲线的正向与增太的方向数 (2)AM=s,当4M的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号 上页
一、弧微分 N R T A 0 x M x x + x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定： (1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2) AM = s, 一致时, 取正号,相反时, 取负号. 当 的方向与曲线正向 s s AM
王 y 单调增函数S=s(x) R A设N(x+△x,y+4y),如图, xxx+△ MNMM+N7当△x→0时, MN=√(△+(4y)2=1+(4)△x→l+y2c, M=△s→s, MT=dx)2+(p)2=1+y2d 上M=△y-d→0,故d=+y2,弧微分公式 庄“为单调增函数,故=y 上页
单调增函数 s = s(x). 设N(x + x, y + y), 如图， MN MN MT + NT 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx NT = y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 N M T A R 0 x x x + x x y o
二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量 . a2 △S △S M M M M △S1 △S,/N △ 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 越大转角越大 短弯曲程度越大 上页
二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 1
设曲线C是光滑的, M 庄M是基点 生M→m切线转角为a,Sm2 午定义 午弧段MM的平均曲率为K=a △s 生曲线C在点M处的曲率K=lmAa △s→0△s 王在mA=存在的条件下,K=a △s->0△sd ds 上页
+ S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K =
注意(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2、曲率的计算公式 设=f(x)二阶可导 .tana=y, 有a= arctan y,da=,,tr, 1+y d=1+y2k.:k=-④m (1+y2)2 上页
2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y k + = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx
设=g( 出(=(,阶可导, dy_y(t d2y '(ty(t-o(ty'(t) de p(t) d x 2 p(t) k=lp(ty"(t-o"(tY () q"(t)+y2(t)2 上页
, ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − =
例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, 2a ∴k= 1+(2ax+b) 显然,当x=一时,k最大 2a 又:(-6,b4a)为抛物线的顶点 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大 上页
例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大
例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和 A道之间接入一段 缓冲段(如图,使曲 率连续地由零过渡 牛到(R为圆弧轨道 点击图片任意处播放暂停 的半径 上页
点击图片任意处播放\暂停 ). ( 1 ( ), , 的半径 到 为圆弧轨道 率连续地由零过渡 缓冲段 如图 使曲 弯道之间接入一段 稳，往往在直道和 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行驶平 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处 R R 例2
1 通常用三次抛物线y6P,x∈I0,xn作为 缓冲段OA,其中l为OA的长度,验证缓冲段 OA在始端O的曲率 为零,并且当很小 R <<1)时,在终端 R R I A(o,yo) A的曲率近似为 0 C(x0,0)x R 上页
. 1 ( 1) , [0, ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 的曲率近似为 时，在终端 为零 并且当 很小 在始端 的曲率 缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓冲段 通常用三次抛物线 ， ．作为 = x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0) 0 C x l