一、主要内容 王工 洛必达法则 0°,1°,∞0°型 auchy 0 令 中值定理-0型 型 0 取对数 0 型 f-g=1g:1/f oO F(=x 型 f·g 1/g Lagrange (a=f(b 中值定理 ROeN导数的应用 定理 单调性,极值与最值, n=0 凹凸性,拐点,函数 Taylor 常用的 图形的描绘 中值定理 泰勒公式曲率;求根方法 圆回 上页
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 − 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F(x) = x f (a) = f (b) n = 0 g f f g 1 = g f g f f g 1 1 1 1 − − = 取对数 令 g y = f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一、主要内容
1、罗尔中值定理 罗尔( Rolle)定理如果函数f(x)在闭区间 A【an,上连续,在开区间a,b)内可导且在区间端 点的函数值相等,即f(a)=f(b),那末在(a,b) 内至少有一点ξ(a<ξ<b),使得函数f(x)在该 工工工 点的导数等于零, 即f(ξ)=0 上页
1、罗尔中值定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端 点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在(a,b) 内至少有一点(a b),使得函数f (x)在该 点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f =
2、拉格朗日中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x) 王在闭区间a上连续在开区间(,b内可导那 上末在(ab)内至少有一点a<<b),使等式 ∫(b)-f(a)=∫()(b-a)成立 工工工 有限增量公式 Δ=∫(x+6x)·△x(0<<1) 增量人y的精确表达式 王页下
2、拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式
王推论如果函数(x)在区间上的导数恒为零 那末f(x)在区间上是一个常数 3、柯西中值定理 柯西( Cauchy)中值定理如果函数f(x)及F(x) 在闭区间b上连续在开区间b)内可导且F(x) 在(a,b)内每一点处均不为零,那末在(a,b)内至少 牛有-点5a<<b)使等式 f(b)-f(a)f(2) F(b)-F(a)F(5)没 上页
3、柯西中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少 有一点(a b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' F f F b F a f b f a = − − 成立. 推论 ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I
4、洛必达法则 型及一型未定式 ● 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 庄2.0.∞-0r,型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 午的类型( 牛注意:洛必达法则的使用条件 上页
4、洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型及 型未定式 0 0 1 . 0 2 0 . 0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件
庄5、泰勒中值定理 庄泰勒(yo)中值定理如果函数()在含有x 的某个开区间(a,b)内具有直到n+1)阶的导数,则 当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为x-x0)的一 个n次多项式与一个余项Rn(x)之和: (r)=f(o)+f(xo_xo)*f"(o)(x-22 f∫ 2 ∵十 0(x-x0)”+Rn(x) n n+1) 其中Rn(x)= (n+1) (x-x0)(在x0与x之间)
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 0 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n + 1)阶的导数,则 当x在(a,b)内 时, f ( x)可以表示为( ) x − x0 的 一 个n次多项式与一个余项R (x) n 之和: ( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n + + − + − = + − + 5、泰勒中值定理 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) 其中 x x 在 x 与 x 之间 n f R x n n n + + − + =
常用函数的麦克劳林公式 2n+1 sInd=u 2n+ 十 十 +0(x 2 3!5 (2n+1)! cosx=1 2n 十 +…+(-1)"七2 +ox 2!4!6! (2n) ln(1+x)=x-n+2-…+(-1)"xm +0(x n+ 1 工工工 =1+x+x2+…+x"+0(x") m(m (1+x)"=1+mx+ 2 2 +(m-1)…(m-n+1)+D(x) 王页
常用函数的麦克劳林公式 ( ) (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 2 3 5 2 1 + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x ( ) (2 )! ( 1) 2! 4! 6! cos 1 2 2 4 6 2 n n n o x n x x x x x = − + − ++ − + ( ) 1 ( 1) 2 3 ln(1 ) 1 2 3 1 + + + + + = − + − + − n n n o x n x x x x x 1 ( ) 1 1 2 n n x x x o x x = + + + + + − ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (1 ) 1 2 n n m x o x n m m m n x m m x m x + − − + + + − + = + +
6、导数的应用 上(1)函数单调性的判定法 定理设函数y=f(x)在a,b上连续,在a,b内 可导. 1如果在(a,b)内f(x)>0,那末函数=f(x)在 工工工 Ia,b上单调增加; 2如果在(a,b内∫(x)<0,那末函数=f(x)在 a,b上单调减少 上页
6、导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法
(2)函数的极值及其求法 定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x是(a,b内 的一个点, 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 牛+任何点除了点x外/(x)f(x均成立就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 上页
( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值极小值可能大于极大值. 定理(必要条件)设f(x)在点x0处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x0)=0 定义使导数为零的点(即方程f(x)=0的实根叫 午做函数(x驻点 牛驻点和不可导点统称为临界点 上页
设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点