成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（试卷习题）2003期末考试试题及答案

成都信息工程学院 2003空解与线性代数期末考试试题及答案 填空题(每题5分,共25分) x J 直线-32-7与平面3x-2y+7x-8=0的位置关系是垂直 =|√2|B=0 2.设 则向量a与β的夹角为_3π/4 1 3.已知A=(31-1),三阶方阵B=0,且满足AB=0,则x=-3 4.设A为mxn矩阵,B为nxm矩阵,且m>n。则|AB 5.已知xb)∈=1,则+b)b+)(+a 6 二、(10分)设 3 求向量组的一个极大无关 组。答:α1,a2,a4为一极大无关组 10 A=01 B=021 三、(10分)设 001 002化简矩阵方程X(EBAB=E,并求矩 100 x 阵X。答 四、(10分)已知a1,a2,a,是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=a1+a2 B2=a2+a3,B3=ax3+减a1,讨论实数λ满足什么条件时,β1,B2,B3也是AX=0的一个 基础解系 +x,+A x1+x2+x3=-2 五、(12分)λ取何值时,线性方程组x+x2+x3=-3 有唯一解、无解或无穷多 解?在有无穷多解时,求其通解。 答:当λ=2时方程组无解。当λ≠-2,λ≠1时方程组有唯一解。当λ=1时方程组有无穷多 X=k R 当λ=1时方程组的通解为: 0

成都信息工程学院 2003 空解与线性代数期末考试试题及答案 一、填空题（每题 5 分，共 25 分） 1．直线 3 2 − 7 = = − x y z 与平面 3x − 2y + 7z − 8 = 0 的位置关系是 垂直 。 2．设          − =           −  = 1 0 1 , 1 2 1  ，则向量  与  的夹角为 3π/4 。 3．已知 A＝           − − 3 1 1 2 1 1 2 3  ，三阶方阵 B0，且满足 AB＝0，则 ＝ -3 。 4．设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 m>n。则｜AB｜＝ 0 。 5．已知 (ab) c =1,则(a + b)(b + c)(c + a)= 2 。 二、（10 分）设               =              − =               − − =               − = 3 2 6 0 , 3 0 2 1 , 3 1 4 2 , 3 2 2 1 1  2  3  4 求向量组的一个极大无关 组。答：1，2，4 为一极大无关组。 三、（10 分）设           =           − − = 0 0 2 0 2 1 2 1 3 , 0 0 1 0 1 1 1 1 0 A B 化简矩阵方程 X(E-B -1A)TB T=E，并求矩 阵 X。答：           − = − 1 2 1 2 1 0 1 0 0 x 四、（10 分）已知 1，2，3，是齐次线性方程组 AX＝0 的一个基础解系，若 1＝1＋2， 2＝2＋3，3＝3＋1，讨论实数  满足什么条件时，1，2，3 也是 AX＝0 的一个 基础解系。 答：≠-1 五、（12 分） 取何值时，线性方程组      + + = − + + = − + + = − 3 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3     x x x x x x x x x 有唯一解、无解或无穷多 解？在有无穷多解时，求其通解。 答：当 =-2 时方程组无解。当 ≠-2，≠1 时方程组有唯一解。当 =1 时方程组有无穷多 解。 当 =1 时方程组的通解为： X k k k k  R          − +          − +          − = 1 2 1 2 , 0 0 2 1 0 1 0 1 1

2A 六、(12分)(1)设λ=2是满秩矩阵A的一个特征值,求 的一个特征值。 答:特征值为7/2 (2)已知四阶方阵A的特征值是-1,1,-2,2,求|A*|。 答:|A*|=64 七、(15分)二次型=x+x2+x3+2ax1x2+2xx3+2bxx经正交变换化为标准形 ∫=y2+y。求常数ab及所用的正交变换矩阵。该二次型是否为正定二次型? P=010 答:a=b=0正交变换X=PY其正交变换矩阵为 二次型非正定。 八、(6分)设a,β,y均为三维列向量,A=(a,β,y),B=(B,y,a),且|A|= 2。求|A+2B 答:由行列式性质知B=A|,|A+2B|=18

六、（12 分）（1）设 ＝2 是满秩矩阵 A 的一个特征值，求 1 3 4 1 2 −       A − A 的一个特征值。 答：特征值为 7/2 （2）已知四阶方阵 A 的特征值是－1，1，－2，2，求｜A ＊｜。 答：｜A ＊｜=64 七、（15 分）二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + x + x + 2ax x + 2x x + 2bx x 经正交变换化为标准形 2 3 2 2 f = y + y 。求常数 a, b 及所用的正交变换矩阵。该二次型是否为正定二次型? 答：a=b=0 正交变换 X=PY 其正交变换矩阵为               − = 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 1 P ，二次型非正定。 八、（6 分）设 ，， 均为三维列向量，A＝（，，），B＝（，，），且｜A｜＝－ 2。求｜A＋2B｜ 。 答：由行列式性质知 |B|=|A| ， ｜A＋2B｜=-18