第一节线性方程组及高斯消元法 引例 某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案, 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图 300 100 300 400 300 600 A B 500 100 图21
一、引例 某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案， 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图． 300 300 300 100 500 100 600 400 A B D C x1 x2 x3 x4 图2.1 第一节 线性方程组及高斯消元法
其中每一路段的车流量数(单位:辆/小时)及其方向 分别用一个数及箭头表忒1,x2,x32x4表示所考虑的 四个路段的待定车流量数A、B、C、D表示四个十字路口. 为了使四个路口不发生车辆拥堵现象,必须保持每个路 口进出的车辆数平衡.于是我们可以得到线性方程组 +x4=300+500=800 X,+x =100+600=700 x+ 100+400=500 x3+x4=300+300=600 这就是上述交通流量问题的数学表达式 除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描 述其数量关系,如电流回路分析以及投入产出经济模型等
其中每一路段的车流量数（单位：辆/小时）及其方向 分别用一个数及箭头表示, 1 2 3 4 x , x , x , x 四个路段的待定车流量数 ， 表示所考虑的 A,B,C,D 表示四个十字路口． 为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路 口进出的车辆数平衡．于是我们可以得到线性方程组 + = + = + = + = + = + = + = + = 300 300 600 100 400 500 100 600 700 300 500 800 3 4 2 3 1 2 1 4 x x x x x x x x 这就是上述交通流量问题的数学表达式． 除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描 述其数量关系，如电流回路分析以及投入产出经济模型等．
线性方程组 根据第一章的讨论,线性方程组 art a12x,+.+a,x=6 a,x;+a、x,+…+a,x.=b a,x.+aX+…+ax=b 可以写成 Ax=b (22) 其中系数矩阵 A 常数列 未知量列 增广矩阵 B=(4:b)
二、线性方程组 根据第一章的讨论，线性方程组 (2.1) 可以写成 其中系数矩阵 常数列 未知量列 增广矩阵 Ax = b ( ) m n ij A a = ( , , , ) , 1 2 = m b b b b ( ) = n x , x , , x x 1 2 B = (Ab) (2.2)
如果b,b2…bn中至少有一个不为零,那么(21称为非齐次 线性闢么(21称为齐次线性方程组 满足方程组(21)的n元有序数组 称为方程组(21)的一个解 方程组(2.1)的所有解组成的集合称为方程组(21)的解集 方程组(2.1)的解集可能是空集,此时方程组(2.1)无解 如果方程组有解,那么称它是相容的;如果方程组无解,那么 称它不相容.如果两个方程组有相同的解集,那么称它们是等 价的方程组 例如,设有方程组 x1+x,=1 +2x,=1 x+2x2=2 (3) +4x,=3
如果 中至少有一个不为零，那么(2.1)称为非齐次 线性方程组； b b b m , , , 1 2 满足方程组(2.1)的 元有序数组 称为方程组（2.1）的一个解． 方程组（2.1）的所有解组成的集合称为方程组（2.1）的解集． 方程组（2.1）的解集可能是空集，此时方程组（2.1）无解． 如果方程组有解，那么称它是相容的；如果方程组无解，那么 称它不相容．如果两个方程组有相同的解集，那么称它们是等 价的方程组． n = = n n c c c x x x 2 1 2 1 x 例如, 设有方程组 (1) , (2) , (3) . − = + = 2 1 1 1 2 1 2 x x x x + = + = 2 2 2 1 1 2 1 2 x x x x + = + = 2 4 3 2 1 1 2 1 2 x x x x 否则那么(2.1)称为齐次线性方程组．
容易验证,方程组(1)与(2)有解,从而它们是相容的; 方程组(3)无解,从而它是不相容的.虽然方程组(1) 与(2)都有解,但是它们的解的个数不一样:方程组 1)有唯一的解 而方程组(2)有无穷多解 其中t为任意数 也可以验证方程组∫x+x2=1 3. 与方程组(1)有相同的解集,即它们是等价的方程组
容易验证，方程组（1）与（2）有解，从而它们是相容的； 方程组（3）无解，从而它是不相容的．虽然方程组（1） 与（2）都有解，但是它们的解的个数不一样：方程组 （1）有唯一的解 而方程组（2）有无穷多解 其中 为任意数． = 3 1 3 2 2 1 x x − = t t x x 2 1 1 t 也可以验证方程组 与方程组（1）有相同的解集，即它们是等价的方程组． = + = 3 1 1 2 1 2 x x x
高斯消元法 对于一般的线性方程组,所要讨论的问题是:线性方程组 相容的条件;当线性方程组相容时,研究解的性质并且给出求 解的方法.我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组 的一般过程 例1解线性方程组 2x1+5x2+4x3=4 x1+4x2+3x3 x1-3x2-2x3=5 x+x2+x3=3 解第一步使第一个方程中x的系数为1.交换第一个方程 与第四个方程的位置, x1+x2+x3 可得 XI +4x2+3 2x1+5x2+4x2=4
二、高斯消元法 对于一般的线性方程组，所要讨论的问题是：线性方程组 相容的条件；当线性方程组相容时，研究解的性质并且给出求 解的方法．我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组 的一般过程． + + = − − = + + = + + = 3 3 2 5 4 3 1 2 5 4 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x 1 x + + = − − = + + = + + = 2 5 4 4 3 2 5 4 3 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x x x x 例1 解线性方程组 解 第一步 使第一个方程中 的系数为1． 与第四个方程的位置， 交换第一个方程 可得
第二步把第一个方程以下的各方程中的消去.第二个方程 减去第一个方程,第三个方程减去第一个方程,第四个方程减 去第二个方程的2倍,可得 x1+x2+ 3x+2x 322 -4x2-3x 3x,+2 第三步使第二方程中的系数为1.第二个方程加上第三方程后 再乘以(-1),可得 ,+r+ 3x,+2x2=0 3x2+2x3=-2
第二步 把第一个方程以下的各方程中的 消去．第二个方程 减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减 去第二个方程的２倍，可得 1 x 2 2 2 3 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 − − = = = = + − + + − + x x x x x x x x x 第三步 使第二方程中的系数为1．第二个方程加上第三方程后 再乘以（－1），可得 2 2 0 3 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 2 1 2 =− = = = + − + + − + x x x x x x x x x
第四步把第二个方程以下的方程中的都消去.第三 个方程加上第二个方程的4倍,第四个方程减去第二个方程 的3倍, x1+x2+x3=3 可得 0 第五步把第三个方程以下的方程中的x3消去.第四 个方程加上第三个方程,可得 x1+x2+x3 3020 (24) 0 第六步用“回代”方法求解.经第五步后得到的方程组(24) 与方程组(23)等价.由方程组(24)的第三个方程得x=2,代入 第二个方程得x2=-2;再把x3=2,x2=-2代入第一个方 程可得.于是
第四步 把第二个方程以下的方程中的 都消去．第三 个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程 的3倍， 2 x − = − = + = + + = 2 2 0 3 3 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x 第五步 把第三个方程以下的方程中的 消去．第四 个方程加上第三个方程，可得 3 x = = + = + + = 0 0 2 0 3 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 第六步 用“回代”方法求解．经第五步后得到的方程组(2.4) 与方程组(2.3)等价．由方程组(2.4)的第三个方程得 ，代入 第二个方程得 ；再把 代入第一个方 程可得．于是， x3 = 2 x2 = −2 x3 = 2, x2 = −2 可得 (2.4)
方程组(23)的解为x1=3于是,方程组(23)的解为 例1中方程组(24)称为阶梯形方程组.一般地,一个阶 梯形线性方程组应该满足如下两个条件 (1)如果方程组中某一方程的各项系数全为零,那么 它下方的所有方程(如果存在)的各项系数全为零; (2)如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为 零,设第一个系数不为零的项是第i项,那么此方程下 方的所有方程(如果存在)的前i项的系数全为零 例如线性方程组 3x,=6 +x2 5x,=10 0=0
方程组(2.3)的解为 3 x1 = 于是，方程组(2.3)的解为 . = − 2 2 3 3 2 1 x x x 例1中方程组(2.4)称为阶梯形方程组．一般地，一个阶 梯形线性方程组应该满足如下两个条件： （1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么 它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零； （2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为 零，设第一个系数不为零的项是第 项，那么此方程下 方的所有方程（如果存在）的前 项的系数全为零． 例如线性方程组 i i 0 3 6 0 3 2 2 4 4 3 1 2 − = = = + − − x x x x x 3 10 2 0 5 3 1 2 = = = + x x x 与
都是棘庑碮中,我们对线性方程组施行了下列 ?3坚较擎 位 翻另一个方程上 这三种变换称为线性方程组的初等变换 容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得 到的方程组与原方程组等价;并且,任意一个线性方程组 定可以经过若干次适当的初等变换(如类似于例1各步使用的 初等变换)得到一个阶梯形的方程组 在例1中,我们实际上已经给出了一种求解线性方程组 的一般方法:对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变 换,使它变为等价的阶梯形方程组,从而达到求解的目 的.这种求解线性方程组的方法称为高斯( Gauss)消元法
都是阶梯形方程组 上述的消元过程中． ，我们对线性方程组施行了下列 三种变换： （ 1） 交换两个方程的位置； （ 2） 以非零数 k 乘一个方程； （ 3） 把某一个方程的k 倍加到另一个方程上． 容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得 到的方程组与原方程组等价；并且，任意一个线性方程组一 定可以经过若干次适当的初等变换（如类似于例1各步使用的 初等变换）得到一个阶梯形的方程组． 在例1中，我们实际上已经给出了一种求解线性方程组 的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变 换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目 的．这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法． 这三种变换称为线性方程组的初等变换．