成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第三章 行列式（3.4）矩阵的秩

第四节矩阵的秩 矩阵的秩的概念 矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征,是研究矩阵 的重要概念 为了建立矩阵的秩的概念,先给出矩阵的子式的定 义在m×n矩阵A中,任取k行与k列(1≤k≤mn{m,n}) 位于这些行列交又处的k2个元素,按它们在矩阵A中的相对 位置组成的k阶行列式,称为A的一个k阶子式 例如,在矩阵 637 A=-23 中,取第1、2行和第2、4列交叉处的元素,组成的二 阶行列式 为A的一个二阶子式

第四节 矩阵的秩 mn 矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列 (1  k  min{ m,n}) 位于这些行列交叉处的 2 k 个元素 ， A 中的相对 k 阶行列式， A 的一个 k 阶 子式．           − − = − 4 3 2 1 2 3 1 5 6 3 7 1 A 中，取第1、2行和第2、4列交叉处的元素，组成的二 3 5 3 1 为 A 的一个二阶子式． 矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征，是研究矩阵 的重要概念． 为了建立矩阵的秩的概念，先给出矩阵的子式的定 义． 一、矩阵的秩的概念 在 位置组成的 例如，在矩阵 阶行列式 按它们在矩阵 称为 返 回 第 三 章

有了子式的概念,就可以定义矩阵的秩 定义2设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有 r+阶子式(如果存在的话全等于零,那么D称为A的最高阶非 零子式,数7称为矩阵的秩,记作R4.并规定零矩阵的秩等于零 由行列式按行(列)展开的公式知,在A中当所有r+1阶子式 全等于零时,所有高于r+1阶的子式也全等于零,因此A的秩R(4) 就是A中不等于零的子式的最高阶数,由定义知m×n阶矩阵A 的秩满足R(4)≤ min m,.显然,对任意矩阵A,R(4是唯一决定 的,但其最高阶非零子式不一定是唯一的.由行列式转置后其值 不变,故矩阵A与其转置矩阵Ar有相同的秩,即R4=RA

有了子式的概念，就可以定义矩阵的秩． A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D ，且所有 r +1 阶子式(如果存在的话)全等于零， D 称为 A 的最高阶非 r 称为矩阵的秩，记作 R(A) ．并规定零矩阵的秩等于零． A 中当所有 r +1 阶子式 r +1 阶的子式也全等于零， A 的秩 R(A) 就是 A 中不等于零的子式的最高阶数， mn 阶矩阵 A 的秩满足 R(A)  min m,n.  显然，对任意矩阵 A ， R(A) 是唯一决定 A 与其转置矩阵  A 有相同的秩，即 ( ) ( )  R A = R A 定义2 设在矩阵 零子式， 由行列式按行(列)展开的公式知， 全等于零时， 但其最高阶非零子式不一定是唯一的．由行列式转置后其值 不变， 那么 数 在 所有高于 因此 由定义知 的， 故矩阵 ．

例12求矩阵A与B的秩,其中 3 B 000 300 0100 00 解在A中,容易看出一个2阶子式 0 A的3阶子式只有一个4,经计算得|4=0,因此R(A)=2 B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行,即知函所有4阶 子式全为零,而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角 线元素的3阶行列式 03 0 4 的值为2×3×4=240,因此R(B)=3

例12 求矩阵 A 与 B 的秩，其中           = − 4 7 1 2 3 5 1 2 3 A ，               − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 B 解 在 A 中，容易看出一个2阶子式 0 2 3 1 2  A 的3阶子式只有一个 A ，经计算得 A = 0 ，因此 R(A) = 2 B 是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知 B 的所有4阶 0 0 4 0 3 2 2 1 3 − − 子式全为零，而以三个非零行的左边第一个非零元素为对角 线元素的3阶行列式 的值为2×3×4=24≠0，因此 R(B) = 3

矩阵秩的计算 从上例可知,当行数与列数较大时,一般的矩阵按定义求 秩是很麻烦的.但是对于行阶梯形矩阵,它的秩就等于其非零行 的行数,一看便知不用计算 本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵,从而求 矩阵的秩的方法.首先给出下列定理 定理6初等变换不改变矩阵的秩 证只就初等行变换的情况加以证明,至于初等列变换的 情况类似可证 如果使用第一种或第二种初等行变换把A化为B,B的子式与 的子式的对应关系有下列三种情形: B的子式即为A的某个子式 B的子式为A的某一个子式交换行的位置得到; B的子式由A的某一个子式的某一行乘以非零数k得到.因此 A与B对应的子式或者同时为零,或者同时不为零.所以, R(A)=R(B)

从上例可知，当行数与列数较大时，一般的矩阵按定义求 但是对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于其非零行 的行数，一看便知不用计算． 本段介绍用初等行变换把矩阵化为行阶梯形矩阵，从而求 矩阵的秩的方法．首先给出下列定理． A 化为 B ， B 的子式与 A 的子式的对应关系有下列三种情形： B 的子式即为 A 的某个子式； B 的子式为 A 的某一个子式交换行的位置得到； B 的子式由 A 的某一个子式的某一行乘以非零数 k 得到．因此 A 与 B 对应的子式或者同时为零，或者同时不为零．所以， R(A) = R(B) 二、矩阵秩的计算 定理6 初等变换不改变矩阵的秩． 证 只就初等行变换的情况加以证明，至于初等列变换的 情况类似可证． 如果使用第一种或第二种初等行变换把 秩是很麻烦的．

当使用第三种初等行变换把A化为B(比如x+k)时,考虑 的任意一个r+1阶子式B1 分三种情形讨论: B不含第i行元素 B同时含第i行和第j行元素; B,含第i行但不含第而元素 在前两种情形,由行列式的性质,对4中与B对应的子式 A’B1=A1,故B=0;对第三种情形,有 B thi +k 以上等式右端第一个行列式为A的r+1阶子式,而第二个行 列式可由A的一个r+1阶子式交换两行的位置得到,故它们均等

当使用第三种初等行变换把 A 化为 B (比如 i krj r + )时， B 的任意一个 r +1 阶子式 Br+1 分三种情形讨论： Br+1 不含第 i 行元素； Br+1 同时含第 行和第 j 行元素； Br+1 含第 i 行但不含第 j 行元素． A 中与 Br+1 对应的子式 Ar+1 ， Br+1 = Ar+1 ，故 0 1 = Br+ ；对第三种情形，有       r i j i j B = r + k r = r + k r +1 以上等式右端第一个行列式为 A 的 r +1 阶子式， A的一个 r +1 阶子式交换两行的位置得到， i i 在前两种情形，由行列式的性质，对 列式可由 考虑 而第二个行 故它们均等 ．

于零.从而B1=0 以上证明了如果A经过一次第三种初等行变换化为B,那么 的任意r+1阶子式都等于零,由矩阵秩的定义,R(B)≤r=R(A 由于B也可经一次第三种初等行变换化为A,故也有R(4)≤R(B) 从而R(A)=R(B) 证毕 由定理6,如果A经过有限次初等变换变为B,那么R(4)=RB) 由此便得求矩阵的秩的方法:用初等行变换把矩阵化成行阶梯形 矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩 例13设 3-236

于零．从而 Br+1 = 0 以上证明了如果 A 经过一次第三种初等行变换化为 B ，那么 B 的任意 r +1 阶子式都等于零， R(B)  r = R(A) 由于 B 也可经一次第三种初等行变换化为 A ，故也有 R(A)  R(B) 从而 R(A) = R(B) 证毕 A 经过有限次初等变换变为 B ，那么 R(A) = R(B) 由此便得求矩阵的秩的方法：               − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A 由定理6，如果 矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩． 例13 设 由矩阵秩的定义， 用初等行变换把矩阵化成行阶梯形

求矩阵A的秩,并求A的一个最高阶非零子式 解先求A的秩,为此对A施行初等行变换使它化成行 阶梯形矩阵 14 0-431-1 0-1297-11 00t 0-16128-12 4 000 B 0000 因为行阶梯形矩阵B有3个非零行,所以 R(A)=R(B)=3

求矩阵 A 的秩，并求 A 的一个最高阶非零子式． A 的秩， A 施行初等行变换使它化成行               − − − − − − − − ⎯⎯⎯→− − −  0 16 12 8 12 0 12 9 7 11 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 4 1 3 1 2 4 1 4 3 2 r r r r r r r r A               − − − − − − ⎯⎯⎯→ − − 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 4 2 3 2 4 3 r r r               − − − − − ⎯ ⎯− → 0 0 0 0 0 0 0 0 4 8 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 4 3 r r = B 因为行阶梯形矩阵 B 有3个非零行，所以 R(A) = R(B) = 3 解 先求 阶梯形矩阵． 为此对

下面求的一个最高阶非零子式 因R4)=3,知A的最高阶非零子式为3阶.记A=(a1,a2a3,a,a3) 其中a(=1,2345为A的列向量,那么矩阵C=(a1,a2,34) 对应的行阶梯形矩阵为 0 0 易知R(C)=3,故C中一定有3阶非零子式.C的3阶子式有4个, 其中C的前三行构成的子式 16≠0 因此这个子式便是A的一个最高阶非零子式

下面求 A 的一个最高阶非零子式． R(A) = 3 ，知 A 的最高阶非零子式为3阶． ( , , , , ) 1 2 3 4 5 A = a a a a a 其中 (i =1,2,3,4,5) i a 为 A 的列向量， , , ) 1 a2 a4 C = (a 对应的行阶梯形矩阵为               − − − 0 0 0 0 0 4 0 4 1 1 6 1 易知 R(C) = 3 ，故 C 中一定有3阶非零子式． C 的3阶子式有4个， C 的前三行构成的子式 16 0 2 0 5 3 2 6 3 2 5 − = −  因此这个子式便是 A的一个最高阶非零子式． 因 其中 记 那么矩阵

对于n阶可逆矩阵,因≠0,知A的最高阶非零子式为A R(A)=n,由于矩阵的秩等于阶数,故可逆矩阵又称作满秩矩 阵,而奇异矩阵又称作降秩矩阵 对于任意矩阵An,总可以经过有限次初等行变换化为行阶 梯形矩阵,然后通过有限次初等列变换便可化成形如 00 的矩阵,称为m×n矩阵A的标准形矩阵,其中r=R(A) 故存在m阶初等矩阵P,P2…,P以及n阶矩阵g12Q2…Q 使得P…P2PAQQ2…Q 00 记P=P…P2P,Q=QQ2…Q,那么P为m阶可逆矩阵, Q为n阶可逆矩阵且 PA0=0 0)mn

对于 n 阶可逆矩阵，因 A  0 ，知 A 的最高阶非零子式为 A R(A) = n ．由于矩阵的秩等于阶数，故可逆矩阵又称作满秩矩 Amn ,总可以经过有限次初等行变换化为行阶         0 0 Ir 0 的矩阵，称为 mn 矩阵 A 的标准形矩阵，其中 r = R(A) 故存在 m 阶初等矩阵 P P Ps , , , 1 2  以及 n 阶矩阵 Q Q Qt , , , 1 2  使得         = 0 0 r 0 s t I P P2 P1 AQ1 Q2 Q 记 P Ps P2 P1 Q Q1 Q2 Qt = , = ，那么 P 为 m 阶可逆矩阵， Q 为 n 阶可逆矩阵且 m n r I PAQ          = 0 0 0 阵，而奇异矩阵又称作降秩矩阵． 对于任意矩阵 梯形矩阵，然后通过有限次初等列变换便可化成形如

即对任意m×n矩阵A,都存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵 Q,使得 PAQ 00 其中R(A)=r.容易知道矩阵A的标准形矩阵由m,n,F 这三个数确定 例14求例13中A的标准形矩阵 解:由例13知R(A)=3,且A为4×5矩阵,故 A的标准形矩阵为 0100 001 0000

mn A m P n Q         = 0 0 Ir 0 PAQ R(A) = r A m,n,r A R(A) = 3 A A               =          0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4 5 3 I 即对任意 矩阵 ，都存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ，使得 其中 ．容易知道矩阵 的标准形矩阵由 例14 求例13中 解： 由例13知 ,且 为4×5矩阵，故 的标准形矩阵为 这三个数确定． 的标准形矩阵．