§3正定二次型 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的判定
一、正定二次型的概念 二、 正定二次型的判定 §3 正定二次型
正定二次型的概念 次型的标准形显然不是唯一的,只是在标准形 中所含的非零项的个数是确定的(即是二次型的秩) 不仅如此,如果限制变换为实满秩线性变换,那么标 准形中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数也 不变).也就是有 定理83设有实二次型f=xAx,它的秩为 F,分别作两个实的满秩线性变换 得=k1y2+k2y2+…+k,y2(k≠0)
一、正定二次型的概念 二次型的标准形显然不是唯一的，只是在标准形 中所含的非零项的个数是确定的（即是二次型的秩）， 不仅如此，如果限制变换为实满秩线性变换，那么标 准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也 不变)．也就是有 定理8.3 设有实二次型 f x Ax T = ，它的秩为 r ，分别作两个实的满秩线性变换 x = C1 y 与 x z = C2 得 ( 0) 2 2 2 2 2 f = k1 y1 + k y ++ kr yr ki
及f=l1=2+l2=2+…+l2=2(l1≠0) 那么k,k2…k,中正数的个数与A1 中正数的个数相等 这个定理称为惯性定理,它的证明从略 应用比较广泛的二次型是标准形的系数全为正 (r=n)或全为负的二次型,它的定义叙述如下 定义83设有实二次型f(x12x2,…,xn)=xAx, 如果对于任意一组不全为零的实数x=c12x2= 都有G1c2…cn)>0,那么f(x,x2…x)称为正定二次型
及 ( 0) 2 2 2 2 2 f = l 1 z1 + l z ++ l r zr l i 那么 r k ,k , ,k 1 2 中正数的个数与 r , , , 1 2 中正数的个数相等． 这个定理称为惯性定理，它的证明从略． 应用比较广泛的二次型是标准形的系数全为正 (r = n) 或全为负的二次型，它的定义叙述如下． 定义8.3 设有实二次型 f x x x x Ax T ( 1 , 2 , , n ) = 如果对于任意一组不全为零的实数 ， n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 2 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为正定二次型
它的矩阵A称为正定矩阵;如果对于任意一组不 全为零的实数x1=C1,x2=C3,…xn=Cn,都有 f(c12c2…;cn)<0,那么f(x1,x2,…,x)称为 负定二次型,它的矩阵称为负定矩阵
它的矩阵 A 称为正定矩阵;如果对于任意一组不 全为零的实数 n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 3 ，都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x x 负定二次型，它的矩阵称为负定矩阵． 称为
正定二次型的判定 定理84实二次型f(x1,x2…;x)=x4x为正定的 必要条件是 an>0(i=1,2,…,m),其中A=(an 证因为f(x,x2…,xn)=x4x是正定二次型,所 以对于任意一组不全为零的实数 x1=C1 都有(cG1C2,…,cn)>0
二、 正定二次型的判定 定理8.4 实二次型 ，其中 f x x xn x Ax ( 1 , 2 , , ) = 必要条件是 为正定的 a 0 (i 1,2, ,n) ii = ( ) ij A = a 证 因为 f x x xn x Ax ( 1 , 2 , , ) = 以对于任意一组不全为零的实数 是正定二次型，所 n n x = c , x = c , , x = c 1 1 2 2 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0
取 于是f(0,…0.10,…0)=an>0(i=1,2,…,n)证毕 必须指出,定理84只是实二次型为正定的必要条 件,但不是充分条件.例如实二次型 f(x1,x2,x3)=x12+2x2+2x3-6x2x3 其中 a1=1>0,a2=2>0,a3=2>0 但是(11)1=12+212+212-611=-1<0 根据定义8.3知,f(x1x2,x3)不是正定二次型
取 x1 == xi−1 = xi+1 == xn = 0, xi =1 于是 f (0, ,0,1,0, ,0) =a 0 (i 1,2, ,n) ii = 必须指出，定理8.4只是实二次型为正定的必要条 件，但不是充分条件．例如实二次型 证毕 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2x + 2x − 6x x 其中 a11 =1 0,a22 = 2 0,a33 = 2 0 但是 ( , , ) 1 2 3 f x x x (1,1,1) 1 2 1 2 1 6 1 1 1 0 2 2 2 f = + + − = − 根据定义８.３知， 不是正定二次型．
定理85实二次型f(x,x2,…,xn)=xAx为正定的充分 必要条件是它的标准型中n个系数全为正 证设满秩线性变换x=Cy使 f(x,x2…xn)=∑y2 先证明充分性设k>00=12,…m),任给x≠0,那么 y=Cx≠0 故 f(x,x2…xn)=∑ky2>0 再证明必要性.用反证法.设C=().假设有 那么当y=e,=(0…010…0)(单位坐标向量)
定理8.5 实二次型 f x x xn x Ax ( 1 , 2 , , ) = 必要条件是它的标准型中 为正定的充分 n 个系数全为正． 证 设满秩线性变换 x = Cy 使 = = n i n i i f x x x k y 1 2 1 2 ( , ,, ) 先证明充分性.设 ki 0(i =1,2, ,n) .任给 x 0 ,那么 y = Cx 0 ,故 = = n i n i i f x x x k y 1 2 ( 1 , 2 ,, ) 0 再证明必要性．用反证法．设 ( ) ij C = c ．假设有 0 l k ，那么当 ( ) y = el = 0, ,0,1,0, ,0 （单位坐标向量）
f(cn,c212…;cn)=k1≤0.显然ce=(cn,c2…;cn)≠0 这与f(x1,x2…,xn)为正定相矛盾.所以k>0(=1,2,…,n 推论实二次型f(x1,x2…,xn)=x4x为正定的 充分必要条件是它的矩阵的特征值全为正 定义84设A=(an)为n阶矩阵,那么位于的左 上角的主子式
f (c1l ,c2l , ,cnl) = kl 0 ．显然 e = 0 ( , , , ) l 1l 2l nl C c c c ， 这与 ( , , , ) 1 2 n f x x x 为正定相矛盾．所以 k 0(i 1,2, ,n) i = 推论 实二次型 f x x xn x Ax ( 1 , 2 , , ) = 为正定的 充分必要条件是它的矩阵的特征值全为正． 定义8.4 设 ( ) ij A = a 为 n 阶矩阵，那么位于的左 上角的主子式 i i i i i i i a a a a a a a a a d 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 =
称为矩阵A的i阶顺序主子式 定理86实二次型f=xx为正定的充分 必要条件是f的矩阵A的各阶顺序主子式全为正 f为负定的充分必要条件是矩阵A的奇数阶顺序 主子式全为负,而偶数阶顺序主子式全为正 这个定理称为霍尔维茨定理,它的证明从略 例5判断下列实二次型是否为正定二次型: (1)f(x1,x2,x3)=3x1-x2+5x2+2x1x2+3x1x3-4x2x3
称为矩阵 A 的 i 阶顺序主子式． 定理8.６ 实二次型 f x Ax T = 为正定的充分 必要条件是 f 的矩阵 A 的各阶顺序主子式全为正； f 为负定的充分必要条件是矩阵 A 主子式全为负，而偶数阶顺序主子式全为正． 的奇数阶顺序 例5 判断下列实二次型是否为正定二次型： 这个定理称为霍尔维茨定理，它的证明从略． （1） 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 3x1 − x + 5x + 2x x + 3x x − 4x x
2)f(x2x2,x3)=2x1+2x2+3x+2x1x2-4x1x3-2x2 (3)f(x1,x2,x3)=x+2x2+4x3+2xx2+4x2x3 解(1)因为a2=-1,根据定理8.4,f(x12x2x3) 不是正定二次型; 2)二次型的矩阵A为 A 2-13 矩阵的各阶顺序主子式为 4-1=3>0
（2） 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 2x +3x + 2x x − 4x x − 2x x （3） 1 2 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 2x + 4x + 2x x + 4x x 解 （1）因为 1 a22 = − ，根据定理8.4， ( , , ) 1 2 3 f x x x 不是正定二次型； 2） 二次型的矩阵 A 为 − − − − = 2 1 3 1 2 1 2 1 2 A 矩阵 A 的各阶顺序主子式为 4 1 3 0 1 2 2 1 2 0, d1 = d2 = = − =