§1特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念及性质 二、特征值与特征向量的计算
§1 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念及性质 二、特征值与特征向量的计算
特征值与特征向量的概念及性质 定义61设A是n阶矩阵,如果存在数和r维非 零列向量x,使得 Ax=/x (6.1) 那么数λ称为矩阵A的特征值,非零列向量x 称为矩阵A的属于特征值λ的特征向量 由此可见,特征向量与特征值的概念相关联,不同 的特征值对应的特征向量不同,且特征向量一定是非零
一、特征值与特征向量的概念及性质 定义6.1 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在数 和 n 维非 零列向量 x ，使得 Ax = x , （6.1） 那么数 称为矩阵 A 的特征值，非零列向量 x 称为矩阵 A 的属于特征值 的特征向量． 由此可见，特征向量与特征值的概念相关联，不同 的特征值对应的特征向量不同，且特征向量一定是非零
列向量 根据矩阵的运算,容易得出特征值与特征向量的 下列一些基本性质 性质1设x是矩阵A的属于特征值λ的特征向量, 对于任意的非零常数k,则k也是矩阵A的属于特征值 λ的特征向量 这是因为,由Ax=a,可得 A(kx)=kAx=kx=/(hx)
列向量. 根据矩阵的运算，容易得出特征值与特征向量的 下列一些基本性质． 性质1 设 x 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量， 对于任意的非零常数 k ，则 kx 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量. 这是因为， 由 Ax = x ，可得 A(kx) = k Ax = kx = (kx)
性质2设x,x都是矩阵A的属于的特征向量,那么 当x1+x2≠0时,x1+x2也是矩阵A的属于特征向量 因为Ax1=x1x2=x2,所以 A(x1+x2)=(4x1+Ax2)=Ax1+Ax2=(x1+x2) 综合上述两性质可知,矩阵A的属于同一特征值 的有限个特征向量x1,x2,…,x的任意一个非零线性组合 x=kx +k +kx也是矩阵A的属于特征值的特征 向量
性质2 设 1 2 x ,x 都是矩阵 A 的属于 的特征向量，那么 当 x1 + x2 0 时, x1 + x2 也是矩阵 A 的属于 的特征向量. 因为 Ax1 = x1 Ax2 = x2 , ，所以 ( ) ( ) ( ) A x1 + x2 = Ax1 + Ax2 = x1 + x2 = x1 + x2 综合上述两性质可知，矩阵 A 的属于同一特征值 的有限个特征向量 xl x ,x , , 1 2 的任意一个非零线性组合 l l x = k x + k x ++ k x 1 1 2 2 也是矩阵 A 的属于特征值 的特征 向量
定理61设2…λ是m阶矩阵A的m个互不相同 的特征值,x,x2,…,xm分别是的属于x…,的特征向量, 那么向量组x1x2,…xm线性无关 证设存在一组数λ42…使得 kx.=0 62) 用A左乘(62)式的两端得 ∑k,4x,=∑k (3) 又用A左乘(6.3)式的两端,得
定理6.1 设 m , , 1, 2 是 n 阶矩阵 A 的 m 个互不相同 的特征值， 1 2 xm x ,x , , 分别是 A 的属于 m , , 1, 2 的特征向量， 那么向量组 1 2 xm x ,x , , 线性无关. 证 设存在一组数 m , , 1, 2 使得 x = 0 = m i i i k 1 , (6.2) 用 A 左乘(6.2)式的两端,得 x = x = 0 = = i i m i i m i i i k A k 1 1 , (6.3) 又用 A 左乘(6.3)式的两端,得
22k 0 用类似的方法,可得 ∑kx1=0 把以上各式合写成矩阵形式,得 kx1,k,X,…,k
x = 0 = i i m i i k 1 2 用类似的方法,可得 x = 0 = − m i i i m i k 1 2 x = 0 = − m i i i m i k 1 1 把以上各式合写成矩阵形式，得 ( x x x ) = 0 − − − 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 , , , m m m m m m m k k k
由于λλ2,…,λ互不相同,根据范德蒙行列式的 计算公式,有 ∏(x1-x)≠0 l≤j<i≤m 于是 0 mm 但x,≠0=12,…m,所以只能有k=k k=0 因此向量组x1,x2,…,xm线性无关
由于 m , , 1, 2 互不相同，根据范德蒙行列式的 计算公式，有 ( ) 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 = − − − − j i m i j m m m m m 于是 ( x x x ) = 0 m m k ,k , ,k 1 1 2 2 但 (i 1,2, ,m) xi 0 = ，所以只能有 k1 = k2 == k m = 0 因此向量组 1 2 xm x ,x , , 线性无关．
二、特征值与特征向量的计算 由(61)式可得,(-A)x=0 a h 0 (64) nn 由定义6.1知,齐次线性方程组(64)有非零解 λ 所以-4= =0.(6.5)
二、特征值与特征向量的计算 由（6.1）式可得， (I − A)x = 0 即 0 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − − − − − − − n n n n n n n x x x a a a a a a a a a ． （6.4） 由定义6.1知，齐次线性方程组（6.4）有非零解 所以 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = − − − − − − − − − − = n n nn n n a a a a a a a a a I A ． （6.5）
-A的展开式是一个关于的n次多项式,称为 矩阵的特征多项式,方程(6.5)称为矩阵A的特征 方程.显然,λ是矩阵A的特征值的充分必要条件是 A-A=0.所以由方程-4=0求出的它的全部根(称为 A的特征根),就是矩阵A的全部特征值.特征方程在 复数范围内总是有解的,其解的个数恰为方程的次数(重根 按重数计算),因此m阶矩阵有n个特征值利用行列式及多 项式的性质,我们不难证明关于矩阵特征值的下列重要
I − A 的展开式是一个关于 的 n 次多项式，称为 矩阵 A 的特征多项式，方程（6．5）称为矩阵 A 的特征 方程．显然， 是矩阵 A 的特征值的充分必要条件是 I − A = 0 ．所以由方程 I − A = 0 求出的它的全部根（称为 A 的特征根），就是矩阵 A 的全部特征值．特征方程在 复数范围内总是有解的,其解的个数恰为方程的次数(重根 按重数计算),因此 n 阶矩阵有 n 个特征值.利用行列式及多 项式的性质,我们不难证明关于矩阵特征值的下列重要
性质:n阶矩阵的n个特征值之和等于矩阵的主对角线上 元素之和;矩阵的n个特征值之积等于矩阵的行列式的值 对于每一个特征值λ,矩阵A的属于特征值λ的特征 向量x是方程组(6.4)的非零解向量 综上所述,求n阶矩阵A的特征值与特征向量的步 骤是: 第一步求A的全部特征值,即求特征方程 1A-A=0的全部根; 第二步求A的特征向量
性质: n 阶矩阵的 n 个特征值之和等于矩阵的主对角线上 元素之和; 矩阵的 n 个特征值之积等于矩阵的行列式的值. 对于每一个特征值 ，矩阵 A 的属于特征值 的特征 向量 x 是方程组（６．４）的非零解向量． 综上所述，求 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量的步 骤是： 第一步 求 A 的全部特征值，即求特征方程 | I − A |= 0 的全部根； 第二步 求 A 的特征向量．
