第三节行列式与矩阵的逆 一.伴随矩阵与矩阵的逆 n阶矩阵A的行列式4的各个元素的代数余子式4 所构成的矩阵 A1A21 称为矩阵A的伴随矩阵.由§1定理1及其推论2,可以得到 引理设4为阶矩阵A的伴随矩阵,那么 AA=AA=44 证记A=(an)及A=(b),那么
第三节 行列式与矩阵的逆 一. 伴随矩阵与矩阵的逆 n阶矩阵A的行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的矩阵 A Aij = n n n n n n A A A A A A A A A A ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 * 称为矩阵A的伴随矩阵.由§1定理1及其推论2，可以得到 引理 设 为阶矩阵A的伴随矩阵，那么 * A AA = A A = A I * * 证 记 A = (aij) 及 ( ) ，那么 * ij AA = b 返 回 第 三 章
b=an1n+a2412+…+an1m O,当≠j 故A!=|41 类似地也有 A=C4a)=∑a4)=|4 证毕 定理2矩阵A可逆的充分必要条件是4≠0;当A可 逆时,A=A,其中A为A的伴随矩阵
i j i j i j i nAj n b = a A + a A ++ a 1 1 2 2 = = i j A i j 当 当 0, , 故 AA = A I * 类似地也有 A A A a a A AI n k n k ki kj kj ki = = = = = 1 1 * ( ) ( ) 证毕 定理2 矩阵 可逆的充分必要条件是 ；当 可 逆时， ,其中 为 的伴随矩阵． A 0 1 1 * A A A = − * A A A A
证分别证明定理前半部分的必要性和充分性 在充分性的证明中包含定理后半部分的证明 如果A可逆,那么由第二章§2定理3知A是初 等矩阵之积,即A=E1E2…E其中E1,E2…,E。为初等 矩阵反复使用§2性质3的推论得 A=|EE…E=EE2E3…E=…=EE2…E,≠0 反之,若A≠0,由引理知 AA=AA=AI 由于4≠0,故有 A)=GA)A
证 分别证明定理前半部分的必要性和充分性； 在充分性的证明中包含定理后半部分的证明. 如果 可逆，那么由第二章§2定理3知 是初 等矩阵之积，即 其中 为初等 矩阵 A A A = E1 E2 Es E E Es , , , 1 2 .反复使用§2性质3的推论得 0 A = E1 E2 Es = E1 E2 E3 Es == E1 E2 Es 反之，若 A 0 ，由引理知 AA = A A = A I * * 由于 A 0 ，故有 A A I A A A A = ) = 1 ) ( 1 ( * *
所以,按逆矩阵的定义知 证毕 当4=0,A称为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵 由上面的定理2可知:A是可逆矩阵的充分必要条件 是A4≠0,即可逆矩阵就是非奇异矩阵 推论1设A和B是两个n阶矩阵.如果A是不可 逆矩阵,那么4B与BA都是不可逆矩阵 证因A是不可逆矩阵,由第二章§2定理3,齐次 线性方程组Ax=0有非零解,从而,齐次线性方程组 (BA)x=0也有非零解 故BA是不可逆矩阵
所以，按逆矩阵的定义知 1 1 * A A A = − 证毕 当 ， 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵． 由上面的定理2可知： 是可逆矩阵的充分必要条件 是 ，即可逆矩阵就是非奇异矩阵. A = 0 A A A 0 推论1 设 和 是两个 阶矩阵．如果 是不可 逆矩阵，那么 与 都是不可逆矩阵． A B n A AB BA 证 因 是不可逆矩阵，由第二章§2定理3，齐次 线性方程组 有非零解，从而，齐次线性方程组 也有非零解． 故 是不可逆矩阵． A Ax = 0 (BA)x = 0 BA
利用行列式的性质,显然有A|=4 从而,由定理2,AT也是不可逆矩阵,根据已经证明 的结论,是不可逆矩阵.BTA是不可逆矩阵.但是, AB=(4B)|=|B4,所以,AB是不可逆矩阵 证毕 推论2如果AB=Ⅰ(或BA=I),那么A 可逆且A-1=B 证设AB=Ⅰ,由于是可逆矩阵,故由推论1, 也是可逆矩阵,即A存在A.于是 B=B=(AAB=A(AB)=AI=A1证毕
利用行列式的性质，显然有 A = A ． 从而，由定理2， 也是不可逆矩阵，根据已经证明 的结论,是不可逆矩阵． 是不可逆矩阵．但是， ，所以, 是不可逆矩阵． A B A AB = (AB) = B A AB 证毕 推论2 如果 (或 )，那么 可逆且 ． AB = I BA = I A A = B −1 证 设 ,由于 是可逆矩阵，故由推论1， 也是可逆矩阵，即 存在 ．于是 AB = I I A −1 A 1 1 1 1 ( ) ( ) − − − − B = IB = A A B = A AB = A I = A 证毕
例7求矩阵A=22 的逆矩阵 解经计算4=2≠0,知A存在.的元素 的代数余子式为 A12=-3,A2=-6,A2=5 从而,得A的伴随矩阵 6 A 65
例7 求矩阵 的逆矩阵 = 3 4 3 2 2 1 1 2 3 A 解 经计算 ，知 存在．的元素 的代数余子式为 A = 2 0 −1 A 2, 2, 2 . 3, 6, 5, 2, 6, 4, 1 3 2 3 3 3 1 2 2 2 3 2 1 1 2 1 3 1 = = = − = − = − = = = = − A A A A A A A A A 从而,得 A 的伴随矩阵 − = − − 2 2 2 3 6 5 2 6 4 * A
二、行列式的乘法定理 本段中,我们讨论矩阵乘积的行列式 定理3AB、为n阶矩阵,那么 设 AB=AB 即两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积 证分两种情况讨论 如果A是不可逆矩阵,由定理2的推论1,AB也是不可逆矩阵 于是,由定理2知4=0及AB=0,从而AB=4B 故可设A是可逆矩阵,则由第二章§2定理3,存在初等矩阵 E1,E2,…,E。使得A=E1E2…E,.由§2性质3的推论得
二、行列式的乘法定理 A B 、 为 n 阶矩阵，那么 AB = A B 即两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积． 定理3 设 本段中，我们讨论矩阵乘积的行列式． 证 分两种情况讨论． A 是不可逆矩阵，由定理2的推论1， AB 于是，由定理2知 A = 0及 AB = 0 ,从而 AB = A B 如果 也是不可逆矩阵． 故可设 A 是可逆矩阵，则由第二章§2定理3，存在初等矩阵 E E Es , , , 1 2 使得 A =E1 E2 Es ．由§2性质3的推论得
AB|(E1E2…E,)B E1E2…E、B E1‖E2|…E,‖B (E1‖E2|…E。D|B = ABl 其中 A=EE2…E=|E|E21…E 证毕 通常我们把定理3称为行列式的乘法定理,它很容易推广到 r(122)个矩阵乘积的情况 推论设4,A2…,A(r≥2)都是n阶矩阵,那么 A42…4|=|A|4…4
| || |, (| || | | |) | | | || | | || | | || | | | | ( ) | 1 2 1 2 1 2 1 2 A B E E E B E E E B E E E B AB E E E B s s s s = = = = = 其中 A = E1 E2 Es = E1 E2 Es 证毕． r ( r ≥2)个矩阵乘积的情况． , , , ( 2) A1 A2 Ar r 都是 n 阶矩阵，那么 通常我们把定理3称为行列式的乘法定理，它很容易推广到 推论 设 A1 A2 Ar = A1 A2 Ar
例8设A是可逆矩阵证明矩阵的逆矩阵的行列式等于 A的行列式的倒数 证因A是可逆的,则存在且有A4=1 由定理3有4f|=Ar|=|1-=1 于是4≠0 且 例9设 A=0-27,B=0 求 AB B
例8 设 A 是可逆矩阵,证明矩阵 A 的逆矩阵的行列式等于 A 的行列式的倒数． A 是可逆的，则 −1 A 存在且有 AA = I −1 由定理3有 1 1 1 = = = − − A A AA I 于是 A 0 且 A A 1 1 = − 例9 设 = − − = − 0 0 2 0 1 7 4 9 5 , 0 0 3 0 2 7 1 2 4 A B 求 1 1 , , − − AB A B 证 因
解经计算 4=6≠0B=8≠0,故小B都可逆,且 ABT|=|A41=|4|B=48
解 经计算 A = 6 0, B = 8 0 ，故 A 、 B 都可逆，且 = = = 48 AB A B A B − = = → 6 1 1 1 A A 8 1 1 1 = = − B B