4.4空间直线 ·空间直线的方程 ·空间两直线间的伍置关系 ·空间直线与平面间的佐置关系 >合
4.4 空间直线 • 空间直线的方程 • 空间两直线间的位置关系 • 空间直线与平面间的位置关系
一、空间直线的方程 1、参数方程 直线L过点Mx,y,, 且与非零向量ν平行。 取L上Mx,y,),有MM∥y MM=(x-x0,y-y0,x2-2-)v=(l,m,m 于是存在实数,使MM= >合
一、空间直线的方程 1、参数方程 直线L过点M0 (x0 , y0 , z0 )， 且与非零向量v 平行。 取L上M(x , y , z) , 有 ， 于是存在实数t，使 . v • M0 L M M0 M // v MM 0 = tv ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z v = l m n
-x 即 y-yo =tm tn x=x+tl 因此有直线的参数方程 y=yo +tm z=Z+tn 其中t称为参数,非零向量w为直线L的 方向向量. >合
即 因此有直线的参数方程 其中t 称为参数，非零向量v称为直线L的 方向向量. 0 0 0 x x tl y y tm z z tn − = − = − = 0 0 0 x x tl y y tm z z tn = + = + = +
2、标准方程 由参数方程消去t,得到直线的标准方程(或 对称式方程) x-xo y-y 其中方向向量v=(l,m,n),l、m、n不全为零。凡 与l,m,n成比例的任何一组数都称为直线的一组 方向数 >合
2、标准方程 由参数方程消去t，得到直线的标准方程（或 对称式方程） 其中方向向量v = (l , m , n) , l、m、 n不全为零。凡 与l , m , n成比例的任何一组数都称为直线的一组 方向数． n z z m y y l x x0 0 − 0 = − = −
如果lm、n某一个或两个可以为 零,比如l=0,约定x-x0=0 直线的标准方程为 X-x y=yo >合
如果 l、m、 n 某一个或两个可以为 零 ，比如 l = 0 ，约定 x - x0 = 0。 直线的标准方程为 − = − − = n z z m y y x x 0 0 0 0
例1求过点(1,2,3)且分别以v=(1,1,1 (1,0,1),3=(1,0,0)为方向向量的三条 直线的标准方程 解三条直线分别为 x y y-2=0 y-2=0 x-1 31 3=0 >合
例1 求过点 (1 , 2 , 3) 且分别以 v1 = (1 , 1 , 1) ，v2 = (1 , 0 , 1)， v3 = (1 , 0 , 0)为方向向量的三条 直线的标准方程． 解 三条直线分别为 1 3 1 2 1 1 − = − = x − y z − = − − = 1 3 1 1 2 0 x z y − = − = 3 0 2 0 z y
例2求通过两点M1(x1,y1,z1与M2(x2,y2, )的直线L的方程 解直线的方向向量可取为 V=M1M2=(x2-x1,y2-,2-21) 故L的方程为 x-x y-y1 x2-x1y2=y122 >合
例2 求通过两点M1 (x1 , y1 , z1 )与M2 (x2 , y2 , z2 )的直线L的方程. 解 直线的方向向量可取为 故L的方程为 ( , , ) 1 2 2 1 2 1 2 1 v = M M = x − x y − y z − z 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − −
3、一般方程 两个相交的平面确定一条 直线,因此直线的一般方程为 Ax+By+Ciz+D,=0 Ax+By+C2+D,=0 其中n1=(A1,B1,C1与n2=(A2,B2,C2)不平行 >合
3、一般方程 两个相交的平面确定一条 直线，因此直线的一般方程为 其中n1 = (A1 , B1 , C1 ) 与n2 = (A2 , B2 , C2 ) 不平行. + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D o x y z 1 2 L
4x+3y-z+5=0 例3将直线的一般方程 3x+2y+22+1=0 化为标准方程 解在已知方程组中令z=1,得 4x+3y=-4 3x+2 y=-3 解得x=-1,y=0 于是M(-1,0,1)是直线上的一点 >合
例3 将直线的一般方程 化为标准方程． 解 在已知方程组中令z = 1，得 解得 x = -1，y = 0 ． 于是 M0 (-1 , 0 , 1) 是直线上的一点． + + + = + − + = 3 2 2 1 0 4 3 5 0 x y z x y z + = − + = − 3 2 3 4 3 4 x y x y
两个已知平面的法向量分别是 n1=(4,3,-1)n2=(3,2,2) 由于L与n1、n2都垂直,故取 v=n1×n2=143-1=8e1-1l2-e3 x+1 所以的标准方程为 811 >合
两个已知平面的法向量分别是 由于L与n1、 n2都垂直，故取 所以的标准方程为 (4 , 3, 1) (3, 2 , 2) n1 = − n2 = 1 2 3 1 2 3 8 11 3 2 2 4 3 1 e e e e e e v = n1 n2 = − = − − 1 1 8 11 1 − − = − = x + y z