4.2向量的乘法 向量的数量积 向量的向量积 向量的混合积 D合
4.2 向量的乘法 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的混合积
§42向量的乘法 向量的数量积 作功问题:一物体在 F 常力F作用下沿直线位移S, 0 力F所作的功为 W=FS 0 D合
§4.2 向量的乘法 一、向量的数量积 作功问题：一物体在 常力F作用下沿直线位移S， 力F所作的功为 F S θ W = F S cos
1、定义 两向量a与b的数量积定义为数 alb cos e,记作 a b=albl 0 Prjab=l blcose 其中0为向量a,b的夹角 当向量n0时,ab=aPb 当向量b0时,a·b=| blPri, a 作功问题W=F·S Prjba=lacose 合
1、定义 两向量a与b的数量积定义为数 , 记作 其中θ为向量a，b的夹角。 当向量a≠0时, 当向量b≠0时, 作功问题 W = F ∙ S ab = a b cos a b cos Prjab=| b|cosθ a b bPrj a = b a b = aPrj a b Prjba=|a|cosθ
2、运算律 (1)交换律a·b=b·a; (2)分配律(an+b)·c=a·+b·c; (3)结合律(a)·b=A(a·b)=a(b), 其中λ为数 证(2)当c=0,分配律显然成立; D合
2、运算律 （1）交换律 a ∙ b = b ∙ a ； （2）分配律 (a+b) ∙ c = a ∙ c+ b ∙ c ； （3）结合律 (λa)∙ b =λ (a ∙ b) = a ∙(λ b), 其中λ为数． 证（2） 当c=0，分配律显然成立；
当c≠0时,有 (a+b)c=c Prje(a+b =cl(Prja+Prj b) 引cPja+cPjb a·c+b.c 证毕 D合
当c≠0时，有 证毕 (a b) c c Prj (a b) + =| | c + c (Prj a Prj b) = c + c | | =| c | Prj c a + cPrj c b = ac + bc
3、结论 (1)a·a=(a2; (2)a⊥b今a·b=0 证(2)必要性a⊥b,则O=x,于是 a·b= allocas 充分性a·b=0,即|al|bcos0=0 情形Icos=0,则9=z,即a⊥b。 2 情形Ⅱ|a=0或=0,a、b中至少有一个是 零向量,即a⊥b D合
3、结论 （1）a ∙ a = |a| 2； （2） 证 （2）必要性 a⊥b，则 ，于是 a ∙ b=|a||b|cosθ 充分性 a ∙ b = 0 , 即 |a||b|cosθ= 0 情形Ⅰ cosθ= 0，则 ，即a⊥b。 情形Ⅱ |a| = 0或|b| = 0，a 、b中至少有一个是 零向量，即a⊥b。 2 = 2 = a ⊥b ab = 0
4、数量积的坐标表示式 设向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), a·b=x1x2+y1y2+x1a2 即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。 证由向量a、b的单位坐标向量分解式 a=xe tyre+ze3 b=x2e+ e2+z,e3 D合
4、数量积的坐标表示式 设向量 a = (x1 , y1 , z1 ) , b = (x2 , y2 , z2 ) , 则 a ∙ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和。 证 由向量a、 b的单位坐标向量分解式 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 b e e e a e e e x y z x y z = + + = + +
A a b=(xe, +y,e2+2,e3) (x,e ,+y2e2+ze3) xire'etXy2e'e2+XiZ2e'e +2ye2e1+y1y2e2E2+y122e2e3 tozer e,t yzeretzize 3 2 233 由于 (i2j=1,2,3) ≠J 因此a·b=x1x2+yy2+x1a2证毕 D合
得 由于 因此 a ∙ b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 证毕 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 a b = x e + y e + z e x e + y e + z e 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 3 = x x e e + x y e e + x z e e 2 1 2 2 2 3 + e e + e e + e e 2 1 1 2 1 2 x y y y y z 3 1 3 2 3 3 + e e + e e + e e 2 1 2 1 1 2 x z y z z z ( , 1, 2 , 3) 0 1 = = = i j i j i j e e i j
5、坐标计算向量的夹角 设:≠0,b≠0,由数量积定义,有 a·b COS 6 la‖b y1y2+2122 2 X+ vi+ z2x2+y2+2 D合
5、坐标计算向量的夹角 设 a≠0 , b≠0 , 由数量积定义，有 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 x y z x y z x x y y z z + + + + + + = | || | cos a b a b =
例1已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B (2,1,2),求∠AMB 解作向量M及MB,则MB=∠(M,MB) 易知MA=(1,1,1),MB=(1,0,),从而 cos∠AAB、MA.MB 1+0+0 MAMB|√1+1+0√1+0+1 由此得 ∠AMB= —3 D合
例1 已知三点M(1 , 1 , 1) ，A(2 , 2 , 1) , B (2 , 1 , 2) , 求 解 作向量 及 ，则 易知 从而 由此得 AMB . MA MB AMB = (MA , MB). MA = (1,1,1) , MB = (1, 0 ,1) , 2 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 cos = + + + + + + = = MA MB MA MB AMB 3 AMB =