第二节初等矩阵 初等矩阵的概念 定义2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩 阵三种初等行(列)变换对应着三种不同的初等矩阵 1.交换两行(或列)的位置 把单位矩阵中第,j行的位置交换)得初等矩阵 第i E(i,y) 第j行
第二节初等矩阵 一、初等矩阵的概念 定义2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩 阵.三种初等行（列）变换对应着三种不同的初等矩阵． 1．交换两行（或列）的位置 把单位矩阵 中第 行的位置交换 (ri rj ， ) 得初等矩阵 第 行 第 行 j i E i j = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , ) I i, j
交换单位矩阵中第订冽的位置(◇c),也可得初等矩 阵E(, 2.以非零数乘某一行(或列) 以非零数k乘单位矩阵的第i(k),得初等矩阵 e(i(k)) k 第i 以非零数k乘单位矩阵的第列(kc),也可得初等矩 阵E(k)
． 交换单位矩阵I中第i,j列的位置 ，也可得初等矩 阵 ． ( ) i j c c E(i, j) 2．以非零数乘某一行（或列） 以非零数k乘单位矩阵I的第i行 (kri ) ，得初等矩阵 E i k k 第i行 = 1 1 1 1 ( ( )) 以非零数k乘单位矩阵I的第i列 ，也可得初等矩 阵 ． ( )i kc E(i(k))
3.把某一行(或列)的k倍加到另一行(或列)上 把单位矩阵的第行的k倍加到第行上(r+{,得初 等矩阵 第i行 E(i,j(k) ←第 把单位矩阵的第冽列的k倍加到第j列上,也可得初 等矩阵E,)
3．把某一行（或列）的k倍加到另一行（或列）上 把单位矩阵I的第j行的k倍加到第i行上 ，得初 等矩阵 ( ) i j r + kr 第 行 第 行 j k i E i j k = 1 1 1 1 ( , ( )) 把单位矩阵I的第i列的k倍加到第j列上，也可得初 等矩阵 E(i, j(k．))
例如,I2经过一次初等变换可以得到下列几种初等 矩阵 E(12)/0 k E(k)= k≠0 E(2()= k≠0 0 k E(2(k)= 01 E(21(k)=
例如， 经过一次初等变换可以得到下列几种初等 矩阵： ; , ; , ; ; ． 2 I ( ) = 1 0 0 1 E 1,2 ( ( )) = 0 1 0 1 k E k k 0 ( ( )) = k E k 0 1 0 2 k 0 ( ( )) = 0 1 1 1,2 k E k ( ( )) = 1 1 0 2,1 k E k
初等矩阵与矩阵初等变换 考虑初等矩阵与矩阵初等变换的对应关系 用m阶介初等矩阵En()左乘矩阵A=a)n,得 第i行 第行 其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换:把A的第订 行交换位置G←)类似地,以n阶初等矩阵E1()右乘 矩阵A,其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换: 把的第订列交换位置(c) 同样可以验证:以En(k)左乘矩阵,其结果相当于对矩阵 施行第二种初等行变换:以非零数k乘第行(kx);以E、(k)
( ) 第 行 第 行 j i a a a a a a a a a a a a E i j A m n in jn n m i j m i j m = 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 , 其结果相当于对矩阵A施行第一种初等行变换：把A的第i,j 行交换位置 (ri rj ) ；类似地，以n阶初等矩阵 右乘 矩阵A ，其结果相当于对矩阵A施行第一种初等列变换： 把的第i,j列交换位置 ． E (i j) n , ( ) i j c c 同样可以验证：以 左乘矩阵，其结果相当于对矩阵 施行第二种初等行变E (i(k)) m 换：以非零数k乘第i行 (kri ) ；以 E (i(k)) n 二、 初等矩阵与矩阵初等变换 考虑初等矩阵与矩阵初等变换的对应关系． 用m阶初等矩阵 Em (i, j) 左乘矩阵 A = (aij) mn ，得
行变换: 以非零数k乘第绗行其结果相当于对矩阵A施行第三种初等行变换: 把第行的倍加到第行上(+k4)以EnG,(k)右乘矩阵A, 其结果相当于对矩阵A施行第三种初等列变换: 把的第列的倍加到第列上(c+kc9) 综上所述,得到如下定理 定理2设A是一个m×m矩阵,对A施行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵;对A施行一次 初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的m阶初等矩阵
其结果相当于对矩阵A施行第三种初等行变换： 把第j行的k倍加到第i行上 ( ； ) i j r + kr E (i j(k)) n , 其结果相当于对矩阵A施行第三种初等列变换： 把的第i列的k倍加到第j列上 ( ．) j i c + kc 综上所述 ，得到如下定理． 定理2 设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换， 相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次 初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵． 以非零数k乘第i行 行变换： 以 右乘矩阵A
由于矩阵初等变换可逆,利用初等矩阵与矩阵初等 变换的对应关系,可知初等矩阵可逆,并且初等变 换的逆变换正好对应着相应初等矩阵的逆矩阵: 由变换r<>的逆变换就是它自身知En)=E(j 由变换k的逆变换为(k=≠0)知E()2=E 由变换7+k的逆变换为7+(-k)知 EG;;(1-l=E(,j(-k)
由于矩阵初等变换可逆，利用初等矩阵与矩阵初等 i j r r E(i, j) E(i, j) 1 = − i kr i r k 1 (k 0) ( ( )) = − k E i k E i 1 1 i j r + kr ( ) i j r + − k r E(i j(k)) = E(i j(− k)) − , , 1 由变换 变换的对应关系，可知初等矩阵可逆，并且初等变 换的逆变换正好对应着相应初等矩阵的逆矩阵： 由变换 由变换 的逆变换为 知 知 的逆变换为 的逆变换就是它自身,知
三、逆矩阵定理 为了得到利用矩阵初等变换求矩阵的逆的方法,我们首 需要建立如下的定理 定理3(逆矩阵定理)设为阶矩阵,那么下列各命题等 价 (1)A是可逆矩阵; (2)齐次线性方程组Ax=0只有零解; 图)A可以经过有限次初等行变换化为L; (4)A可表示为有限个初等矩阵的乘积 证(1)-×2)设A是可逆矩阵,那么A存在,于是 x A(Ax)=A0=0
（1）A 是可逆矩阵； (2) 齐次线性方程组 只有零解； (3) A 可以经过有限次初等行变换化为 ； Ax = 0 n I (4) A 可表示为有限个初等矩阵的乘积． 证 （1）（ → 2） 设A是可逆矩阵，那么 −存在，于是 1 A x = x = ( )x = ( x) = 0 = 0 −1 −1 −1 I A A A A A 三、逆矩阵定理 为了得到利用矩阵初等变换求矩阵的逆的方法，我们首 需要建立如下的定理 定理3 （逆矩阵定理）设为阶矩阵，那么下列各命题等 价：
因此,齐次线性方程组Ax=0只有零解 (2))(3)设齐次线性方程组x=0只有零解 由本章§1知道,A可以经过有限次初等行变换化为 为行最简形矩阵R.因为Ax=0只有零解,利用定理 可知R中非零行的行数等于n,从而,R=In (3)>(4)设A可以经过有限次初等行变换化为 由于矩阵初等变换是可逆的,故也可以经过有限次初等行变 换化为A.再利用定理2知道,存在初等矩阵P,P2,…,P,使 得 P.…P2BIn=A 即得 A=P∵PP
可知R中非零行的行数等于n，从而， n R = I （3） （4）设A可以经过有限次初等行变换化为 ． 由于矩阵初等变换是可逆的， n I 故也可以经过有限次初等行变 化为A．再利用定理2知道，存在初等矩阵 使 得 换 , , 1 2 s P ,P , P Ps P2 P1 I n = A 即得 A = Ps P2 P1 为行最简形矩阵R．因为 Ax = 0 只有零解，利用定理 1 Ax = 0 （2） （3）设齐次线性方程组 只有零解． 由本章§１知道，A 可以经过有限 Ax = 0 次初等行变换化为 → → 因此， 齐次线性方程组 只有零解．
由于初等矩阵是可逆的矩阵且可逆矩阵的乘积仍然是可 逆矩阵(见第一章§2),故A是可逆矩阵 (4)>(1)设可表示为有限个初等矩阵的乘积,即 A=P…P2B1
（4）（ → 1）设可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 A = Ps P2 P1 由于初等矩阵是可逆的矩阵且可逆矩阵的乘积仍然是可 逆矩阵（见第一章§２），故A是可逆矩阵．