§3向量组的秩 、向量组的秩与极大无关组 二、向量组极大无关组的性质 三、向量空间的基、维数与向量的坐标 四、过渡矩阵与坐标变换
一、向量组的秩与极大无关组 §3 向量组的秩 二、向量组极大无关组的性质 三、向量空间的基、维数与向量的坐标 四、过渡矩阵与坐标变换
§3向量组的秩 向量组的秩与极大无关组 在§2例8中,部分向量组a1,a2线性无关,但是向 量组a1,a2,a3却线性相关.类似地,部分向量组a2,a3 及a3,al1也具有这样的性质:它们本身是线性无关的, 但是如果添加一个向量进去,它们就变成线性相关的了 可见它们在向量组a1,a,a3中作为一个线性无关 的部分向量组,所包含的向量个数最多;并且这3个部分 向量组所含的向量个数相等.一般地,我们有
1 2 a ,a 1 2 a3 a ,a , 2 3 a ,a 3 a1 a , 1 2 3 a ,a ,a 一、向量组的秩与极大无关组 线性无关，但是向 却线性相关．类似地，部分向量组 及 也具有这样的性质：它们本身是线性无关的， 的部分向量组，所包含的向量个数最多；并且这3个部分 §3 向量组的秩 在§2例8中，部分向量组 量组 但是如果添加一个向量进去，它们就变成线性相关的了． 可见它们在 向量组 中作为一个线性无关 向量组所含的向量个数相等．一 般地，我们有
引理设矩阵A=(a1,a2…,an)R(A)=r,向量组 是向量组A:a1,a2,…,an的部分组且包含S个 向量.如果向量组A1线性无关,且向量组A的任意 s+1个向量线性相关,那么S=r 证因向量组A1线性无关,故由定理2知,由向 量组A为列构成的矩阵中有一个S阶子式不为零 从而S≤r.又因向量组A的任意s+1个向量
A R A r (a1 ,a2 ,,a m ), ( ) A1 A m a1 ,a2 ,,a s A1 A s 1 s r A1 A1 s s r A s 1 引理 设矩阵 ，向量组 是向量组 ： 的部分组且包含 向量．如果向量组 线性无关，且向量组 的任意 个向量线性相关，那么 证 因向量组 线性无关，故由定理２知，由 为列构成的矩阵中有一个 阶子式不为零， ．又因向量组 的任意 个向量 个 量组 向 从而
线性相关,故也由定理2知,矩阵A中任意s+1阶 子式都为零,从而r<S.所以,S=r 证毕 下面我们引入向量组的秩与极大无关组的概念 定义7设向量组A的一个包含r个向量的部分组 Ao:a a,,满足 (1)向量组A6线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量
A s 1 r s s r A r A r a ,a ,a 0 1 2 : A0 A r 1 线性相关，故也由定理２知，矩阵 中任意 子式都为零，从而 ．所以， ． 定义7 设向量组 的一个包含 个向量的部分组 （1）向量组 （2）向量组 中任意 个向量 阶 证毕 下面我们引入向量组的秩与极大无关组的概念． ，满足 线性无关；
(如果A中有r+1个向量的话)组成的向量组都线性相关, 那么向量组A称为向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称极大无关组);极大无关组所含向量个数r称为 向量组A的秩 含零向量的向量组没有极大无关组,规定它的秩 为0.在§2例8中,部分组a1,a2;a2,a3及a3,a1都是 向量组a1,a2,a3的极大无关组.这说明向量组的极大
A r 1 A0 A r A （如果 中有 那么向量组 称为向量组 （简称极大无关组）；极大无关组所含向量个数 向量组 ，规定它的秩 个向量的话）组成的向量组都线性相关， 的一个极大线性无关向量组 称为 只含零向量的向量组没有极大无关组 的秩． 1 a2 a , 2 3 在§２例8中，部分组 ；a ,a 及 3 a1 a , 1 2 a3 a ,a , 都是 的极大无关组． 为0． 向量组 这说明向量组的极大
无关组一般不是唯一的;但是这3个极大无关组含有的 线性无关的向量的个数都是2,这就是向量组a1,2a2,a3 的秩.又如R"的秩为n,任意n个线性无关的n 维向量都是Rn的一个极大无关组 事实上,因为任意n+1个n维向量一定 线性相关,所以任意n个线性无关的n维向量都 R的一个极大无关组.特别地,n维单位坐标向量组
1 2 a3 a ,a , n R n n n n R n 1 n n 无关组一般不是唯一的； 的秩． 的秩为 任意 个线性无关的 维向量都是 事实上，因为任意 个 线性相关， 个线 这3个极大无关组含有的 这就是向量组 又如 ， 的一个极大 无关组． 维向量一定 n n R 性无关的 维向量都是 的一个极 大无关组．特别地，n 维单位坐标向量组 线性无关的向量的个数都是2， 但是 所以任意
是R的一个极大无关组n4 矩的列向量组的秩称为 A的列秩,它的行向量组的秩称为A的行秩利用§2定 理2及矩阵的秩的定义,我们可以建立矩阵的秩、列秩及 行秩之间的如下联系 定理7矩阵的秩等于它的列秩,也等于它的行秩 证设 A=(a1,a2,…,an),R(A)=r,并设某
n R A A A A R A r (a1 ,a2 ,,am ), ( ) 是 矩 阵 的列向量组的秩称为 的列秩，它的行向量组的秩称为 定理7 矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩． ，并设某一 的一个极大无关组． 的行秩．利用§2定 理 2及矩阵的秩的定义，我们可以建立矩阵的秩、列秩及 行秩之间的如下联系． 证 设
y阶子式D≠0由D.≠0,知D所在的r 列构成的矩阵的秩为r,由定理2知这r个列向量 线性无关;又由A中所有r+1阶子式均为零,也由 定理2知A中任意r+1个列向量都线性相关 因此D所在的r列是A的列向量组的 个极大无关组,所以A的列秩等于F.由于 R(AT)=R(A)且A1的列向量组就是A的行向量组,即 A的列秩就是A的行秩.所以,由上面已经证明的
r Dr 0 Dr 0 Dr r r r A r 1 A r 1 Dr r A A r R(A ) R(A) A A A A 阶子式 由 ，知 所在的 列构成的矩阵的秩为 定理2知这 线性无关；又由 中所有 阶子式均为零，也由 中任意 因此 所在的 列是 一个极大无关组，所以 的列秩等于 且 的列向量组就是 的行向量组，即 的列秩就是 的行秩．所以，由上面已经证明的 ，由 个列向量 的列向量组的 ．由于 个列向量 定理2知 都线性相关．
指出,定理7的前半部分证明本来可以直接使用引理而 简化,但是从现在的证明中可以知道:如果D是矩阵 A的一个最高阶非零子式,那么D所在的列就是A 的列结果,就可以知道矩阵A的秩也等于它的行秩 证毕 以后,向量组a1,…,an的秩也记作R(a1,…,an) 应该指出,定理7的前半部分证明本来可以直接使用引理 而简化,但是从现在的证明中可以知道:如果D是矩
Dr A Dr r A A a m a ,, 1 R( a m a ,, 1 ) 指出，定理７的前半部分证明本来可以直接使用引理而 是矩阵 的一个最高阶非零子式，那么 所在的 列就是 结果，就可以知道矩阵 以后，向量组 的秩也记作 应该 简化，但是从现在的证明中可以知道：如果 的列 的秩也等于它的行秩． 证毕 指出，定理７的前半部分证明本来可以直接使用引理 而简化，但是从现在的证明中可以知 道：如果Dr 是矩
阵A的一个最高阶非零子式,那么D.所在的r列就是 A的列向量组的一个极大无关组;D所在的r行就是A 的行向量组的一个极大无关组.这为我们提供了一种通过 矩阵的最高阶非零子式来求其列向量组的极大无关组的 方法.下面我们介绍求向量组的极大无关组的另一种方法 即用矩阵初等变换来求向量组极大无关组的方法.为此, 我们需要如下的简单的定理 定理8矩阵的初等行变换不改变(部分或全部)
A Dr r A Dr r A 阵 的一个最高阶非零子式，那么 所在的 列就是 的列向量组的一个极大无关组； 所在的 行就是 即用矩阵 的行向量组的一个极大无关组．这为我们提供了一种通过 矩阵的最高阶非零子式来求其列向量组的极大无关组的 方法．下面我们介绍求向量组的极大无关组的另一种方法， 初等变换来求向量组极大无关组的方法．为此， 我们需要如下的简单的定理． 定理8 矩阵的初等行变换不改变（部分或全部）