成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 n维向量空间（4.4）线性方程组解的结构

§4线性方程组解的结构 齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

§4 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 二、非齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的结构 设有齐次线性方程组 a1x1+a12x2+….+a 0 a1x1+a2x,+….+a 0 (5.16) 十…+a.x 那么(516)可以写成方程 Ax=0 (5.17)

一、齐次线性方程组解的结构 设有齐次线性方程组                  0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     ， （5.16） 记 ( ) , ij m n A a          n x x x  2 1 x 那么（5.16）可以写成方程 Ax  0 ． （5.17）

下面我们讨论矩阵方程(5.17)的解向量的性质 性质1如果X=31,x=52为方程(5.17)的解向量, 那么x=51+52也是方程(5.17)的解向量 证只需验证x=1+2满足方程(5.17) A(1+2)=A81+A2=0+0 证毕 性质2如果x=为方程(517)的解向量,k为实 数,那么x=k是方程(5.17)的解向量 证只需验证x=kξ满足方程(5.17): A(k2)=k4(9)=k0=0 证毕

下面我们讨论矩阵方程（5.17）的解向量的性质． 性质1 如果 1 2 x  ξ , x  ξ 为方程（5.17）的解向量， 那么 1 2 x  ξ  ξ 也是方程（5.17）的解向量． 证 只需验证 1 2 x  ξ  ξ 满足方程（5.17）： A(ξ 1  ξ 2 )  Aξ 1  Aξ 2  0  0 证毕 性质2 如果 x  ξ 为方程（5.17）的解向量，k为实 数， x  kξ是方程（5.17）的解向量． 证 只需验证 x  k ξ 满足方程（5.17）： A(kξ)  kA(ξ)  k0  0 证毕 那么

如果用S表示方程(5.17)的全体解向量所组成 的集合,那么性质1及性质2就是 (1)如果ξ∈S,2∈S,那么51+2∈S (2)如果ξ∈S,k∈R,那么k∈S 这就说明集合S对向量的线性运算是封闭的,所以 集合S是一个向量空间,称为齐次线性方程组(516) 或(5.17)的解空间 为了呈示齐次线性方程组解的结构,下面我们求解 空间S的一个基 设R(A)=r(r<n),并不妨设A的前个列向量线性无关

如果用 S 表示方程（5.17）的全体解向量所组成 的集合，那么性质1及性质2就是 (1) 如果  S  S 1 2 ξ ,ξ ，那么  S; 1 2 ξ ξ (2) 如果 ξ  S, k  R，那么 kξ  S. 这就说明集合 S S 对向量的线性运算是封闭的， 集合 是一个向量空间，称为齐次线性方程组（5.16） 或(5.17)的解空间． 为了呈示齐次线性方程组解的结构，下面我们求解 空间S 的一个基． 设R(A)  r(r  n),并不妨设 A的前r个列向量线性无关 所以

对A施行初等行变换可以得到行最简形矩阵 0 00 由矩阵C对应的方程组得 11r+1 (518) 由第二章知,方程组(5.16)与(518)等价在

对 A施行初等行变换可以得到行最简形矩阵          0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 11 1               r r n r n r c c c c C 由矩阵 C 对应的方程组得 n r r r r n r r n r n x c x c x x c x c x                  1 1 , 1 11 1 1,    ． （5.18） 由第二章知，方程组（5.16）与（5.18）等价.在

方程组(518)中,任给x…X一组值,就唯一确定 x…x的值,就可得到(5.18)的一个解向量,也就是 (516)的解向量.现在令x,…x取下列n-组数: 由(5.18)分别可得

方程组（5.18）中，任给 r n x , , x 1  一组值，就唯一确定 r x , , x 1  的值， （5.16）的解向量． r n x , , x 1  取下列 n  r组数： , 1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1 2 1                                 n r r x x x 由（5.18）分别可得 , , , , , 1, 2 12 1 1 11                               r n r n r r r r c c c c c c x x      就可得到（5.18）的一个解向量，也就是 现在令

从而求得方程组(5.18)(也就是方程组(5.16))的 n-r个解向量 12 2 0 0 下面证明向量组5,2,…n就是方程组(5.16)的解 空间S的一个基.首先,由于n-r个nr维向量

从而求得方程组（5.18）（也就是方程组（5.16））的 n  r 个解向量.                            1 0 , , 0 0 1 , 0 0 0 1 , 1, 2 12 1 11        r n r n r r r c c c c c c 1 2 n r ξ ξ ξ 下面证明向量组 1 2 n r ξ ,ξ , ξ  , 就是方程组（5.16）的解 空间 S的一个基． n  r个 n  r 维向量.                   1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1     首先，由于

线性无关.所以由§2定理4,分别在每个向量前面添加 r个分量而得到的n-r个n维向量组成的向量组:,52,… 也线性无关 其次,证明方程组(5.16)的任一解向量 都能由向量组3,2,…ξn线性表示.为此,作向量 η=n151++2+…+Ann-r

所以由§2定理4，分别在每个向量前面添加 r 个分量而得到的 n  r 个 n 维向量组成的向量组 1 2 n r ξ ,ξ , ξ  , 也线性无关． 其次，证明方程组（5．1６）的任一解向量          n r r       1 1 x ξ 都能由向量组 1 2 n r ξ ,ξ , ξ  , 线性表示．为此，作向量 1 2 n r η ξ ξ ξ  r1  r2  n  线性无关．

由于ξ12…n是方程组(5.16)的解向量,由性质1及 性质2知η是方程组(5.16)的解向量.比较向量η与 ,知道它们的后面n-r个分量对应相等.由于它们都应 满足方程组(518),从而它们的前面r个分量也一定 对应相等.因些=,即 5=A+11++252+…+n9n-r 这样就证明了向量组51,52;n是解空间S的一个基 从而知解空间S的维数dimS=n-r 当R(A)=r=n时,方程组(516)只有零解,解空间 S只含一个零向量

1 2 n r ξ ,ξ , ξ  由于 , 是方程组（5.1６）的解向量，由性质1及 性质2知η也是方程组（5.1６）的解向量． 与 ，知道它们的后面 个分量对应相等． 满足方程组（5.1８），从而它们的前面r 个分量也一定 对应相等． ξ  η ，即 1 2 n r ξ ξ ξ ξ   r 1   r  2     n  这样就证明了向量组 1 2 n r ξ ,ξ , ξ  , 是解空间 S的一个基． 从而知解空间 S的维数 dim S  n  r. 当R(A)  r  n 时，方程组（5.1６）只有零解，解空间 S 只含一个零向量． 比较向量 由于它们都应 因此 η ξ nr

综上所述,就得到如下定理 定理11设A是m×n矩阵,齐次线性方程Ax=0 全体解向量所组成的集合S是一个向量空间,当系数矩阵 A的秩R(A)=r时,解空间S的维数是n-r 上面的证明过程还提供了一种求齐次线性方程组解 空间的基的方法.当然,求解空间的基的方法很多,而 且解空间的基也不是唯一的.例如,(x灬1…xn)可以任取 r个线性无关的n-r维向量,由此都可以相应地求得解 空间的一个基 齐次线性方程组解空间S的一个基又称为方程组 (516)的一个基础解系

综上所述，就得到如下定理． 定理11 设 A 是 m n 矩阵，齐次线性方程 Ax  0 全体解向量所组成的集合S是一个向量空间， A的秩 R(A)  r时，解空间 S的维数是 n  r. 上面的证明过程还提供了一种求齐次线性方程组解 且解空间的基也不是唯一的． 空间的基的方法．   ( , , ) r 1 n x  x 可以任取 n  r 个线性无关的 n  r维向量，由此都可以相应地求得解 空间的一个基． 齐次线性方程组解空间 S 的一个基又称为方程组 （5.1６）的一个基础解系． 当系数矩阵 当然，求解空间的基的方法很多，而 例如