§2相似矩阵与矩阵的对角化 一、矩阵相似的概念与性质 二、矩阵的相似对角化
§2 相似矩阵与矩阵的对角化 一、矩阵相似的概念与性质 二、矩阵的相似对角化
矩阵相似的概念与性质 定义62设A、B都是n阶矩阵.如果存在n阶可 逆矩阵C,使CAC=B,那么称矩阵A与矩阵B相似 可逆矩阵C称为相似变换矩阵 相似是矩阵之间的一种关系,容易验证矩阵的相似 关系是一种等价关系 相似矩阵还具有下列性质 性质1相似矩阵的行列式相等 证 设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=CAC
一、矩阵相似的概念与性质 定义6.2 设 A 、 B 都是 n 阶矩阵．如果存在 n 阶可 逆矩阵 C ，使 C AC = B −1 ，那么称矩阵 A 与矩阵 B 相似. 可逆矩阵 C 称为相似变换矩阵． 相似是矩阵之间的一种关系，容易验证矩阵的相似 关系是一种等价关系. 相似矩阵还具有下列性质． 性质１ 相似矩阵的行列式相等． 证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − =
两边同时取行列式,得 B=CAC=C- AC=C-CAHCCA/A114) 证毕 性质2如果两个可逆的矩阵相似,那么它们 的逆矩阵也相似 证 设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=CAC 由此可得B=C-AC 所以A与B相似且相似变换阵仍为C 证毕
两边同时取行列式，得 B = C AC = C A C = C C A = C C A = I A = A − − − − | || || | | || | | || | 1 1 1 1 证毕. 性质２ 如果两个可逆的矩阵相似，那么它们 的逆矩阵也相似． 证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − = 由此可得 . 1 B C AC − = 所以 −1 −1 A 与B 相似且相似变换阵仍为 C. 证毕
性质3设A与B相似,那么kA与B似,Am与Bm 相似(其中k为任意数,m为任意的正整数) 证 设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=C AC 故得kB=C(AC x B=(C-Ac=(C-lACC-1AC)(C-lAC)=C-A"C 因此kA与B相似,Am与B"相似 证毕 性质4设A与B相似,f(x)为一多项式,则 f(4)与(B)相似 证设f(x)=a0+ax+…+anxm
性质３ 设 A与B 相似，那么 kA与kB 相似， m m A 与B 相似（其中 k 为任意数， m 为任意的正整数）． 证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − = 故得 ( ) . 1 kB C kAC − = 及 ( ) ( )( ) ( ) . 1 1 1 1 1 B C AC C AC C AC C AC C A C m − m − − − − m = = = 因此 kA与kB 相似， m m A 与B 相似. 证毕 性质4 设 A与B 相似， f (x) 为一多项式，则 f (A)与f (B) 相似. 证 设 ( ) . 0 1 m m f x = a + a x ++ a x
因A与B相似,那么存在可逆矩阵C,使 B=CAC 因此f(B)=an1+a1B+…+anBm a+a1(CAC)+…+an(C1Cy (a1C+C(a14C+…+C-(n4 1+a1A+…+anA 即(4)与f(B)相似 证毕 性质5相似矩阵具有相同的特征多项式,因而具 有相同的特征值
因 A与B 相似，那么存在可逆矩阵 C ，使 . 1 B C AC − = 因此 ( ) m f B = a0 I + a1 B ++ am B ( ) ( ) m a I a C AC am C AC 1 1 0 1 − − = + ++ C (a I)C C (a A)C C (a A )C m m 1 1 1 0 −1 − − = + ++ C (a I a A a A )C m = + + + m −1 0 1 即 f (A)与f (B) 相似. 证毕. 性质5 相似矩阵具有相同的特征多项式，因而具 有相同的特征值
证设A与B相似,那么存在可逆阵C,使 B=CAC 故-B=1/-CAC (-4C 证毕 注意:此性质的逆命题不成立,即具有相同特征 多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似 例如A B 们的特征多项式相同,但不 存在可逆阵C,使CAC=B
证 设 A与B 相似，那么存在可逆阵 C ，使 . 1 B C AC − = 故 I B I C AC −1 − = − = C ( I − A)C − 1 = C I − A C − 1 = I − A 证毕. 注意：此性质的逆命题不成立，即具有相同特征 多项式或具有相同特征值的两个同阶方阵不一定相似． 例如 , 3 1 1 0 A = = 0 1 1 0 B ，它们的特征多项式相同，但不 存在可逆阵C，使 . 1 C AC = B −
矩阵的相似对角化 如果一个矩阵与对角矩阵相似,那么该矩阵称为可 对角化矩阵.本节讨论矩阵的对角化问题.首先得出矩 阵可对角化的充分必要条件;然后介绍当矩阵A可对角 化时,如何求相似变换矩阵C,使C1AC为对角矩阵 定理62n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是 矩阵A有个线性无关的特征向量 证设n阶矩阵A与对角矩阵A 相似, 那么存在可逆矩阵C
二、矩阵的相似对角化 如果一个矩阵与对角矩阵相似，那么该矩阵称为可 对角化矩阵．本节讨论矩阵的对角化问题．首先得出矩 阵可对角化的充分必要条件；然后介绍当矩阵A可对角 C AC 化时，如何求相似变换矩阵 −1 为对角矩阵． 定理6.2 n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量． 证 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 = n 2 1 相似， 那么存在可逆矩阵C, C ，使
使 lAC A 于是AC=CA.将阵C按列分块成C=(x1,x2…xn),便有 Ax,x2…,xn)=(x,x2…xn 故 (4x,x2,…,xn)=(x12x2…,n 于是 A
使 , 1 1 = = − n C AC 于是 AC = C ．将阵 C 按列分块成 ( ) C x x xn , , , = 1 2 ，便有 ( , , , ) ( , , , ) , 1 1 2 1 2 = n A n n x x x x x x 故 ( , , , ) ( , , , ), Ax1 Ax2 Axn = 1 x1 2 x2 n xn 于是 A i i i x = x (i =1,2, n)
因为矩阵C可逆,故x≠0(=12…n)且向量组x1,x2X 线性无关,又由Ax=4x知,λ,2…,n为n阶矩阵A的特 征值,x1x2…x分别为对应的特征向量.所以A有n个线 性无关的特征向量 反之,设x1x2…X为A的线性无关的特征向量,其 对应特征值分别为λ,l2…(可能有相同的),即有 构作矩阵C=(1,x2…x AC=A (AX,, A2X2,, AX
因为矩阵 C 可逆, 故 (i n) xi 0 =1,2, 且向量组 x1 x2 xn , , , 线性无关，又由 Axi = i xi 知， n , , , 1 2 为 n A A x1 ,x2 , ,xn n 阶矩阵 的特 征值， 分别为对应的特征向量．所以 有 个线 性无关的特征向量． 反之，设 x1 x2 xn , , , 为 A 的线性无关的特征向量，其 对应特征值分别为 n , , , 1 2 （可能有相同的），即有 A i i i x = x (i =1,2, n). 构作矩阵 ( ) x1 x2 xn C = , , , ( ) x1 x2 xn AC = A , , , ( , , , ) = A1 x1 A2 x2 Axn
因为x1,x2…x,线性无关,故C可逆且 CAC 证毕 这里需要注意λ,2…,的顺序与x12X2…X的顺序的 对应关系.由此定理可得下列重要的推论
( ) x x n xn , , , = 1 1 2 2 ( ) = n 1 , , , 1 2 n x x x . 1 = n C 因为 x1 x2 xn , , , 线性无关，故 C 可逆且 = − n C AC 1 1 证毕. 这里需要注意 n , , , 1 2 的顺序与 x1 x2 xn , , , 的顺序的 对应关系．由此定理可得下列重要的推论．