成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 n维向量空间（4.2）向量组的线性相关

§2向量组的线性相关 一、向量组的线性组合 二、向量组的线性相关

§2 向量组的线性相关 一、向量组的线性组合 二、向量组的线性相关

§2向量组的线性相关性 有限个或无限个同维数列向量(或行向量)所组成 的集合称为一个向量组 例如一个mxn矩阵A=(a)有n个m维列向量 (G=12…,n) 它们组成的向量组a1,a2,…,an称为矩阵A的列向量组 m×n矩阵又有m个n维行向量 b=(bn,b2”…,bn(=l2,…,m)

m n   ij A  a n m a a a   j n j  1 j， 2 j，， mj  1，2，，  a 1 2 n a ,a ,,a A §2 向量组的线性相关性 矩阵 有 个 维列向量 它们组成的向量组 称为矩阵 的列向量组． 有限个或无限个同维数列向量（或行向量）所组成 ， 的集合称为一个向量组． 例如一个 m n A m n b b b  i m bi   i1， i2，， in ，  1，2，， 矩阵 又有 个 维行向量

它们组成的向量组bb….b称为矩阵A的行向量组 反之,由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵 例如m个n维列向量所组成的向量组a1,a2,…,am 构成一个n×m矩阵 m个n维行向量所组成的向量组b,b;,b 构成一个mxn矩阵 b B b

   b b b m , , , 1 2  A m n 1 2 m a ,a ,,a n m   1 2 m A  a ,a ,,a m n Τ m Τ 2 Τ b1，b ，，b m n        Τ m Τ 2 Τ 1 b b b  B 它们组成的向量组 称为矩阵 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 个 维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 ； 个 维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵 ． 的行向量组． 矩阵． 例如

注意这里的矩阵A与B可以看作是分块矩阵 在第二章中,我们把含有n个未知量的m 个方程组成的线性方程组写成矩阵形式Ax=b, 从而线性方程组可以与它的增广矩阵B=(4:b) 对应.这种对应如果看成一个方程对应B 的一个行向量,那么方程组就与B的行向量组对应 可以知道方程组与B的列向量组a1,a2;,anb 之间也有一一对应关系.如果利用分块矩阵的乘法 把线性方程组写成向量形式x1a1+x2a2+…+xn2an=b

A B n m Ax  b B  Ab B B B a1，a2，,an，b x1a1  x2a2  xnan  b 注意这里的矩阵 与 可以看作是分块矩阵． 个未知量的 个方程组成的线性方程组写成矩阵形式 从而线性方程组可以与它的增广矩阵 这种对应如果看成一个方程对应 的一个行向量，那么方程组就与 可以知道方程组与 的列向量组 之间也有一一对应关系． 在第二章中，我们把含有 ， 的行向量组对应． 把线性方程组写成向量形式 一一对应． 如果利用分块矩阵的乘法

那么,当方程组有解时,向量b可以由向量组 1,a2;…,an通过线性运算得到 如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性 运算(加法与数乘运算)来表示,那么这种关系称为 向量组的线性关系 在本章中,我们将讨论向量组的线性关系

b 1 2 n a ，a ，，a 那么，当方程组有解时，向量 可以由向量组 如果向量组中向量间的某种关系可以用向量的线性 通过线性运算得到． 运算（加法与数乘运算）来表示，那么这种关系称为 向量组的线性关系． 在本章中，我们将讨论向量组的线性关系．

向量组的线性组合 根据第四章定理1我们知道,如果向量a、b∈R3且 b≠0,那么a与b平行的充分必要条件是存在实数 使a=b 又如,设e1、e2、e3是R3的单位坐标向量, 那么由第四章§1的方法,可以得到任意a∈R的分解式 a =ae ta2e2 +a3e3 上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合 的概念

3 a、b  R b  0 a b  a  b 1 e 2 e 3 e 3 R 3 a  R 1 1 2 2 3 3 a  a e  a e  a e 根据第四章定理1我们知道，如果向量 且 ，那么 与 平行的充分必要条件是存在实数 使 ． 、 、 是 那么由第四章§1的方法，可以得到任意 的分解式 上述的向量之间的线性关系可以推广为向量组的线性组合 一、向量组的线性组合 ， 又如，设 的单位坐标向量， 的概念．

定义4设向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实数 k1,k2…kn,向量ka1+k2a2+…+knan称为向量组A 的一个线性组合,k,k2…,kn称为这个线性组合的组合 系数 设向量b与向量组A:a1,a2,…,an,如果存在一组数 ,使b=λa1+λ2a2+…+nan,那么向量b 是向量组A的线性组合,这时称向量组b能由向量组 A线性表示 向量b能由向量组A线性表示,也就是方程组

1 2 m A: a ,a ,,a m k , k , , k 1 2  m m k a  k a  k a 1 1 2 2 A m k , k , , k 1 2  b 1 2 m A: a ,a ,,a    m , , , 1 2  m m b   a   a   a 1 1 2 2 b A b A 定义4 设向量组 ，对于任何一组实数 ，向量 称为向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的组合 与向量组 ，如果存在一组数 ，使 ，那么向量 是向量组 的线性组合，这时称向量组 能由向量组 线性表示． 设向量 系数． 向量 b 能由向量组 A 线性表示，也就是方程组

xa1+x2a2+…+xnan=b有解 根据第二章§1第四目关于线性方程组解的不同 情况的讨论以及第三章§4矩阵的秩的求法,可以得到 定理1设向量组A:a1,42,,2 b(a1,a2;…,an;b 都是n维向量),记矩阵 A=(a1,a2、,9,x= B=(A: b) 那么下列三个命题等价: (1)向量b能由向量组A线性表示; (2)线性方程组Ax=b有解

x1a1  x2a2  xmam  b A am a ,a ,, 1 2 : b a1 ,a2 ,,am ;b n )   1 2 m A  a ,a ,,a     m x , x , , x x 1 2  B  (Ab) A 有解 根据第二章§1第四目关于线性方程组解的不同 与向 量 都是 维向量) ，记矩阵 ， ， 那么下列三个命题等价： 能由向量组 线性表示； 情况的讨论以及第三章§4矩阵的秩的求法，可以得到． 定理1 设向量组 （1）向量 （2）线性方程组 Ax  b 有解； b (

(3)线性方程组Ax=b的增广矩阵的秩 等于其系数矩阵的秩,即 R(4)=R(B) 借助于定理1,我们可以直接使用矩阵的初等 变换来判断向量b能否由向量组A:a,a2,…,an线性 表示,并且在b能由向量组A线性表示时求相关的 组合系数: 记A=(a1,a2,y,m)B=(A:b),对矩阵B 施行初等行变换,使它变成行阶梯形矩阵B

Ax  b RA  RB b A am a ,a ,, 1 2 : b A ( ) 1 2 am A  a ,a ,, B  Ab B B1 （3）线性方程组 等于其系数矩阵的秩，即 借助于定理1，我们可以直接使用矩阵的初等 能否由向量组 线性 能由向量组 线性表示时求相关的 ， ．对矩阵 施行初等行变换，使它变成行阶梯形矩阵 ． 变换来判断向量 表示，并且在 组合系数： 记 的增广矩阵的秩

比较R(4)与R(B)·如果R(B)≠R(4),那么向量b 不能由向量组A线性表示;如果R(4)=R(B),那么向量b 能由向量组A线性表示.继续对B1施行初等行变换 使它变成行最简形矩阵B·此时,矩阵B2的最后一个 列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示,它的 组合系数就是向量b关于向量组A的组合系数 例4设n维向量空间R的向量组E

RA RB RB  RA b A RA  RB b A B1 B2 B2 b A 比较 与 ．如果 ，那么向量 不能由向量组 线性表示；如果 ，那么向量 能由向量组 线性表示．继续对 使它变成行最简形矩阵 ．此时，矩阵 列向量能由其余列向量所组成的向量组线性表示，它的 关于向量组 的组合系数． 施行初等行变换 的最后一个 组合系数就是向量 n n 例4 设 维向量空间 R 的向量组E ：        0 0 1 1  e               1 0 0 , , 0 1 0 2    n e e ，