第二节.行列式的性质和计算 1行列式的性质 性质1.设A=(a)是n阶矩阵,A是A的转置矩阵,则 A4=|4 即行列式经过转置后其值不变 性质2如果行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如行列式D的第行的元素都是两数之和
第二节. 行列式的性质和计算 1. 行列式的性质 性质1.设 是n阶矩阵， 是A的转置矩阵，则 即行列式经过转置后其值不变. ( ) ij A = a A A = A 性质2.如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和， 例如行列式D的第i行的元素都是两数之和 返 回 第 三 章
D a tb a+b 那么D等于下列两行列式的和,即D=D+D2,其中
n n n n i i i i i n i n n n a a a a b a b a b a a a a a a D 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 + + + = 那么D等于下列两行列式的和，即 D = D1 + D2 ，其中 n n n n i i i n n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 = n n n n i i i n n n a a a b b b a a a a a a D 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 =
性质3(行列式的初等变换)设A为n阶矩阵, (1)交换A第行(列)的位置得到A1,则4=4 (2)把A的第行(列)乘以数k≠0得到A2,则A4|=k4 (3)把的第行(第i列)的k倍加到第i(第j列)上得到 3 则 推论1设A是任意的n阶矩阵,则对m阶初等矩阵E都有 EA=酬4及AE=4E 推论2如果行列式有两行(列)元素成比列,那么这个行列 式为零 2.行列式的计算
性质3（行列式的初等变换）设A为n阶矩阵， （1）交换A第i,j行（列）的位置得到A1，则 ; （2）把A的第j行（列）乘以数 得到 A2 ，则 ； A1 = − A k(k 0) A2 = k A （3）把的第j行（第i列）的k倍加到第i行（第j列）上得到 A3，则 A3 = A 推论１ 设A是任意的n阶矩阵，则对n阶初等矩阵E都有 EA = E A及 AE = A E 推论２ 如果行列式有两行（列）元素成比列，那么这个行列 式为 零． 2. 行列式的计算
例4计算行列式 D 113 解 11 2034 200-8 ×1×1×1×33 2|0014 200142 00-81 00033
例4 计算行列式 1 1 2 5 2 4 1 1 2 1 1 1 1 3 2 3 2 1 − − − D = 解 . 2 33 1 1 1 33 2 1 0 0 0 33 0 0 1 4 0 1 4 1 1 1 1 3 2 1 0 0 8 1 0 0 1 4 0 1 4 1 1 1 1 3 2 1 0 0 1 4 0 0 8 1 0 1 4 1 1 1 1 3 2 1 0 1 4 1 0 3 4 2 0 0 1 4 1 1 1 3 2 1 1 2 3 2 2 5 2 4 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 3 4 4 3 2 4 3 2 3 1 2 1 4 1 4 8 3 2 2 = = − − − − − − − − − − − − − − − = = = = = ⎯→ + ⎯→ − − + − r r r r r r r r r r r r r r r D
利用初等变换计算行列式的另一个基本程序是,通过适 的初等变换把某一行(列)的元素尽可能化为零,然后按 该行(列)展开,降阶后再计算. 仍以例4为例 n +I 5-2100 4|按展开 D 1×x(-1)34-2 25244-12034-22 232 14 014 按c展开 34 0-81 1× 4 14 ×33 2-8
利用初等变换计算行列式的另一个基本程序是，通过适 当的初等变换把某一行（列）的元素尽可能化为零，然后按 该行（列）展开，降阶后再计算. 仍以例4为例. 1 4 1 3 4 2 0 1 4 1 ( 1) 2 1 0 1 4 1 0 3 4 2 0 0 1 4 1 1 1 3 2 1 1 2 3 2 2 5 2 4 1 1 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 4 1 4 − = − − − − − = − − − = + − + − r r 按c 展开 r r r r r D 8 1 1 4 2 1 8 1 1 4 1 ( 1) 2 1 1 4 1 0 8 1 0 1 4 1 4 1 3 4 2 0 1 4 2 1 1 3 2 1 3 2 3 1 − = − = − − = − − = − + r − r 按c 展开 2 33 33 2 1 = =
例5计算n阶行列式 解注意到每一行除一个x外,其余n-1个数全为y,故把第2列, 第3列,…,第n列都加到第1列上,得 +(n-1)yy +ex+(n-1)y y[+(n-1)y =[x+(n-1)y (j=2,3,…,n) x+(n-1)y y 0 [x+(n-1)y](x-y)
例5 计算n阶行列式 ． y y y x y x y y x y y y Dn ... ... ... ... ... ... ... ... = 解 注意到每一行除一个x外,其余n-1个数全为y,故把第2列, 第3列，……，第n列都加到第1列上，得 [ ( 1) ]( ) . 0 0 ... ... ... ... ... 0 ... 0 1 ... [ ( 1) ] 1 ... ... ... ... ... 1 ... 1 ... [ ( 1) ] ( 1) ... ... ... ... ... ( 1) ... ( 1) ... 1 ( 2,3, , ) [ ( 1) ] ( 2,3, , ) 1 1 1 − − = + + − = = + − − − − + − + − + − + − + − = = = n r r i n c c c x n y j n n x n y x y x y x y y y x n y y x x y y y x n y x n y y x x n y x y x n y y y D i j
在n阶行列式的计算中,一般都将高阶行列式化为低阶 行列式来计算,但是对某些特殊的行列式,也可以采用“加 边法” 我们对例5的行列式进行如下的“加边”,得 00.0 那么 y00 0x-y0 (i=2,3,…,n+1) 0 00
在n阶行列式的计算中，一般都将高阶行列式化为低阶 行列式来计算,但是对某些特殊的行列式，也可以采用“加 边法”. 我们对例5的行列式进行如下的“加边” ，得 y y y x y x y y x y y y y y y y Dn 0 ... ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 1 ... = 那么 x y x y x y y y y y D r r i n n i − − − − − − = − = + 1 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 1 ... 1 ( 2,3,, 1)
如果=y,那么 y00.0 如果x≠y,那么 C1+c1÷(x-y) 0 0 0 0 (1+)(x-y) (n-DyIx-y 所以在两种情况下,总有Dn=[x+(n-1)y]x-y)y1
如果 x = y ,那么 0 1 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 1 ... = − − − = y y y y Dn 如果 x y ,那么 (1 )( ) [ ( 1) ]( ) . 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 1 ... 1 ( ) ( 2,3, , 1) 1 − + − = + − = + − − − = + − − − − + = n n c c x y j n n x y x n y x y x y ny x y x y x y y y y y x y ny D j 1 [ ( 1) ]( ) − = + − − n n 所以在两种情况下，总有 D x n y x y