成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第一章 矩阵（1.2）矩阵的运算返回

第二节矩阵的运算返回 矩阵的线性运算 1.矩阵的加法运算 加法定义:有mxn矩阵4=(an)和B=(b), 那么矩阵C为A和B的和。 「a1+b1a2+b a, tb 21+b21a2+b2…a2n+b2 a,t b 12 a +b 记作:C=A+B

第二节 矩阵的运算 一. 矩阵的线性运算 1. 矩阵的加法运算 加法定义：有 矩阵 ， 那么 矩阵 为A和B的和。 C= 记作：C=A+B             + + + + + + + + + m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ... : : ... : ... ... 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 mn ( ) ( ) ij ij A = a 和B = b Cij 返回

注意 返回 (1)同型矩阵才能相加; (2)相加结果同型矩阵 2.减法运算 负矩阵 A=(-a) A+(-A)=O 减法 A-B=A+(-B)(对应元素相减) A=B今A-B=0

注意： (1) 同型矩阵才能相加； (2) 相加结果同型矩阵; 2. 减法运算 负矩阵： ( )ij − A = −a A+ (−A) = O 减法： A− B = A+ (−B) (对应元素相减) A = B  A− B = O 返回

3.矩阵的数乘 设有一个矩阵A=(a),是一个数,那么矩阵返回 11 12 入a1n 2 称为矩阵A与数A的乘积(简称矩阵的数乘),记作λA 矩阵的线性运算律:加法、数乘 ①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) 3A4+O=A④A+(-4)=O 5 1A=A

3. 矩阵的数乘  设有一个矩阵 ， 是一个数，那么矩阵 称为矩阵A 与数 的乘积（简称矩阵的数乘），记作 ． ( ) ij A = a               m m mn n n a a a a a a a a a                 1 2 21 22 2 11 12 1 A 矩阵的线性运算律：加法、数乘. ① A+ B = B+ A ② (A+ B) +C = A+ (B+C) ③ A+O = A ④ A+ (−A) = O ⑤ 1A = A 返回

ok(4)=(M)4⑦k(4+B)=k4+kB返回 ⑧(k+D)A=k4+l4 例1已知矩阵 120 和P_/1 10 0-3 求2A+3B及2A-3B 解2A+3B (13)-(013 333 0-93

⑥ k (lA ) = (kl ) A ⑦ k(A + B) = kA + kB ⑧ (k + l)A = kA+ lA 例1 已知矩阵  − = 1 0 1 1 2 0 A   − = 0 3 1 1 1 1 和 B 求 2 A + 3 B 及 2 A − 3 B   − + − + = 0 3 1 1 1 1 3 1 0 1 1 2 0 解 2 A 3 B 2   − + − = 0 9 3 3 3 3 2 0 2 2 4 0 返回

5 73 2-95 返回 同理 11-3 2A-3B 29

 − − = 2 9 5 5 7 3  − − − − − = 2 9 1 1 1 3 2 A 3 B 同理 返回

矩阵的乘法 返回 某公司的4个工厂W、Ⅹ、Y、Z工厂生产3种产品P、Q、 R,每种产品的材料、劳动力及管理费的单位成本如下表所 表1 单位:元 单位成本 R 材料 劳动力 3 Q—221 管理费

二. 矩阵的乘法 某公司的４个工厂W、X、Y、Z工厂生产3种产品P、Q、 R，每种产品的材料、劳动力及管理费的单位成本如下表所 示： 产品 单位成本 P Q R 材料 1 2 1 劳动力 3 2 2 管理费 2 1 2 表1.2 单位：元 返回

4个工厂生产这3种产品的月产量如下表所示 表13 单位:件 Z 2000 3000 1500 4000 PQR 1000 500 500 1000 2000 2000 2500 2500 如何求每个工厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成本? 首先,我们用下述两个矩阵分别表示表12与表1.3

4个工厂生产这３种产品的月产量如下表所示 表1.3 单位：件 工厂 产品 W X Y Z P 2000 3000 1500 4000 Q 1000 500 500 1000 R 2000 2000 2500 2500 如何求每个工厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成本？ 首先，我们用下述两个矩阵分别表示表1.2与表1.3

2000300015004000 A=322 B=10005005001000 212)’(200200025002500 容易知道,W厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成本为 材料:1×2000+2×100041×2000=6000, 劳动力:3×2000+2×1000+2×200=12000, 管理费:2×200041×1000+2×20009000 同理,我们可以分别得到其余三个工厂关于材料、劳动力及管理费 的月度总成本.以每个工厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成 本作为列构成的矩阵 6000600050008500 C=1200014000105001900 900010500850014000

容易知道， 厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成本为 材料: ， 劳动力: ， 管理费: ． 同理，我们可以分别得到其余三个工厂关于材料、劳动力及管理费 的月度总成本．以每个工厂关于材料、劳动力及管理费的月度总成 本作为列构成的矩阵           = 2 1 2 3 2 2 1 2 1 A           = 2000 2000 2500 2500 1000 500 500 1000 2000 3000 1500 4000 B W 12000+ 21000+12000 = 6000 32000+ 21000+ 22000 =12000 22000+11000+22000 = 9000 ,           = 9000 10500 8500 14000 12000 14000 10500 19000 6000 6000 5000 8500 C

是一个3×4矩阵,并且它的第行第j列的元素恰好是A的 第行元素与A的第丿列对应元素乘积之和. 我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积,记作C=AB 1.乘法的定义:A=(an)m和B=(b),,如果AB=C 则矩阵C中每个元素都是A的行,B的列对应元 素之积之和 b1+ai2b2j+.+ ais b j=2 aikbki

1. 乘法的定义： 和 ，如果 则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元 素之积之和。 即 ij m s A a =  ( ) ij s n B b =  ( ) AB =C = + + + =  = s k ij i j i j is s j ik k j c a b a b a b a b 1 1 1 2 2  (i =1,2,  ,m; j =1,2,  ,n) 是一个 矩阵，并且它的第 行第 列的元素恰好是A的 第 行元素与A的第 列对应元素乘积之和． 我们把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作 ． 34 i j i j C = AB

注意:只有当左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才可以相乘 例2求矩阵 21-1 A= 302 与矩阵 020 B= 的乘积AB 解因为A是2×3矩阵,B是3×3矩阵,A的列数等于B 的行数,所以矩阵A与B可以相乘,其乘积是2×3矩 阵.由定义有

注意：只有当左边的矩阵的列数等于右边矩阵的行数时， 两个矩阵才可以相乘． 例2 求矩阵         − = 3 0 2 2 1 1 A 与矩阵           − = 1 5 1 1 1 1 0 2 0 B 的乘积 AB 解 因为A是2×3矩阵，B是3×3矩阵，A的列数等于B 的行数，所以矩阵A与B可以相乘，其乘积是2×3矩 阵．由定义有