4.3平面 平面的方程 利用平面方程研究平面
4.3 平 面 •平面的方程 •利用平面方程研究平面
§4.3平面 一、平面的方程 1.平面的点法式方程 法线向量(法向量)m:垂直于平面x 设x上点Mx0,y,z) 法向量n=(A,B,C) 则点M(x,y,2在平面z上冷MM,n=0
§4.3 平 面 一、平面的方程 1. 平面的点法式方程 法线向量(法向量)n: 垂直于平面 设上点 M0 (x0 , y0 , z0 ) 法向量n = (A , B , C) 则点M(x , y , z)在平面上 M0 M n M0 M n = 0
即平面的点法式方程 A(x-x0)+By-yn)+C(z-=0)=0 2、平面的一般方程 由点法式方程,令D=(4x+B+Cz0) 化为平面的一般方程 Ax+ By +Cz+D=0 其中A,B,C不全为零 即平面方程是一个三元一次方程
即平面的点法式方程 2、平面的一般方程 由点法式方程，令 化为平面的一般方程 其中A , B , C不全为零. 即平面方程是一个三元一次方程。 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = Ax + By +Cz + D = 0 ( ) D = − Ax0 + By 0 +Cz0
反之,任何一个三元一次方程,只要一次项 系数不全为零,它的图形就是一个平面 证设三元一次方程 Ax+ By+Cz+D=0 找出一组解x,y,如,即 Byo Czo +D=o
反之，任何一个三元一次方程，只要一次项 系数不全为零，它的图形就是一个平面. 证 设三元一次方程 找出一组解 x0 , y0 , z0，即 Ax + By +Cz + D = 0 Ax0 + By0 +Cz0 + D = 0
两式相减得 A(x-x0)+B(-y)+C(z-=)=0 →(A,B,C)·(x-x02y-y,2-20)=0 即点M(x,y,z在过点M(x0,y,动且与向量 n=(A,B,C)垂直的平面上,因此一次方程 Ax+ By+Cz+D=0 表示过M且垂直于向量n的平面
两式相减得 即点M(x , y , z)在过点 M0 (x0 , y0 , z0 )且与向量 n = (A , B , C)垂直的平面上 ，因此一次方程 表示过M0且垂直于向量n的平面． ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 +C z − z0 = ( , , ) ( , , ) 0 A B C x − x0 y − y0 z − z0 = Ax + By +Cz + D = 0
例1求过点(1,2,1)且与向量n=(1,2,1) 垂直的平面 解由点法式方程,有 lx-1)+2(y-1)+1(z-2)=0 即x+2y+z-5=0
例1 求过点 (1 , 2 , 1) 且与向量 n = (1 , 2 , 1) 垂直的平面． 解 由点法式方程，有 即 1(x −1)+ 2(y −1)+1(z − 2) = 0 x + 2y + z − 5 = 0
例2求通过x轴与点(4,-3,-1)的平面方程 解所求平面通过x轴,法向量n=(0,B,C) 平面的方程为B+Cz=0 因为点(4,-3,-1)在平面上,因此有 3B-C=0或C=3B(B≠0) 所求的平面方程为 y-3z=0
例2 求通过x轴与点(4 , -3 , -1)的平面方程． 解 所求平面通过 x 轴，法向量n=(0 ,B , C) 平面的方程为 因为点(4 , -3 , -1)在平面上，因此有 所求的平面方程为 By + Cz = 0 −3B−C = 0或C = 3B (B 0) y − 3z = 0
例3平面过三点M1(1,1,1)、M2(-2,1,2) M3(3,3,1),求这平面的方程 解一设平面方程为 Ax+ By+ Cz+D=0 那么M1、M2、M3三点的坐标满足方程,有 A+btc+D=0 2A+B+2C+D=0 3A+3B+C+D=0
例3 平面过三点M1 (1 , 1 , 1)、M2 (-2 , 1 , 2)、 M3 (-3 , 3 , 1) ，求这平面的方程． 解一 设平面方程为 那么M1、 M2、 M3三点的坐标满足方程，有 Ax + By +Cz + D = 0 − + + + = − + + + = + + + = 3 3 0 2 2 0 0 A B C D A B C D A B C D
解得 B=2A C=3A D=-6A 由于A、B、C不能同时为零,因此A0 于是平面方程为 Ax+2Ay+3Az-6A=0 即 x+2y+3z-6=0
解得 由于A、B、C不能同时为零，因此A≠0 . 于是平面方程为 即 B = 2A C = 3A D = −6A Ax + 2Ay + 3Az − 6A = 0 x + 2y + 3z − 6 = 0
解二设M(x,y,x为空间的任意一点, 那么M,MM,M、M,M,共面,即 x2 3-13-11 化简得所求的平面方程为 x+2y+3z-6=0
解二 设M(x , y , z)为空间的任意一点， 那么 共面，即 化简得所求的平面方程为 M1 1 2 1 3 M M M M M 、 、 0 3 1 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 = − − − − − − − − x − y − z − x + 2y + 3z − 6 = 0