第八章二次型 在解析几何中,为了便于研究二次曲线 1x2+2a12xy+ 的几何性质,我们往往选择适当的坐标旋转变换 ∫x= x cose-ysnO y=x sin 6+ y cos 0 把曲线方程(8.1)化为标准形 aux +a2,y=ao(
第八章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 0 2 12 22 2 a11x + 2a x y + a y = a 的几何性质，我们往往选择适当的坐标旋转变换 = + = − sin cos cos sin ' ' ' ' y x y x x y 把曲线方程（8.1）化为标准形 ( ) 0 ' 0 ' 0 ' '2 2 2 ' '2 a1 1x + a y = a a = a
方程(8.1)的左边是关于变量x2y的一个二次齐 次多项式,从代数学的观点看,所谓化为标准形就是 通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式,使它 只含变量的平方项.在二次曲面的研究中也有类似的 情形,在许多理论和实际问题中也常常会遇到这类问 题.现在我们讨论n个变量的二次齐次多项式的化 简问题
方程（8.1）的左边是关于变量 x, y 的一个二次齐 次多项式，从代数学的观点看，所谓化为标准形就是 通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式，使它 只含变量的平方项．在二次曲面的研究中也有类似的 情形，在许多理论和实际问题中也常常会遇到这类问 题．现在我们讨论 n 个变量的二次齐次多项式的化 简问题．
§1二次型 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示
§1 二次型 一、二次型的概念 二、二次型的矩阵表示
二次型的概念 定义8.1含有η个变量 xn的二次齐次 多项式 )=a1x1+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2anx1xn+ +2a +2a2n +2 nn 称为一个n元二次型
一、二次型的概念 定义8.1 含有 n 个变量 n x , x , , x 1 2 的二次齐次 f x x xn = a x + a1 2 x1 x2 + a1 3 x1 x3 + + a1n x1 xn + 2 ( 1 , 2 , , ) 1 1 1 2 2 2 a x + a23x2 x3 + + a2n x2 xn + 2 22 2 2 2 an− n− xn− + an−1 n xn−1 xn + 2 1 1 1 , 2 , 2 nn n a x （8.2） 称为一个 n 多项式 元二次型．
当系数a为复数时,f(x,x2…,x)称为复二次型;当系数 an为实数时,称f(x,x2…x)为实二次型.这里我们只讨 论实二次型 在(82)式中,取a=an,那么2axx1=a1x1+anx 于是(82)式可写成 f(x, +a +a1nx1xn+ (8.3) anxnxtan2xnx2tangxnx3t.ta
当系数 ij a 为复数时， ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为复二次型；当系数 aij 为实数时，称 ( , , , ) 1 2 n f x x x 为实二次型．这里我们只讨 论实二次型． 在（8.2）式中，取 ij ji a = a ，那么 ij i j ij i j ji j i 2a x x = a x x + a x x 于是（8.2）式可写成 f x x xn = a x + a1 2 x1 x2 + a1 3 x1 x3 + + a1n x1 xn + 2 1 2 1 1 1 ( , , , ) a x x + a x + a2 3 x2 x3 ++ a2n x2 xn + 2 2 1 2 1 2 2 2 2 n1 n 1 n2 n 2 n3 n 3 n n n a x x + a x x + a x x ++ a x （8.3）
利用矩阵的乘法,(83)式可写成
利用矩阵的乘法，（8.3）式可写成 = = = = n j n j j n j j j n j j j n n a x a x a x f x x x x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) = n n n n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 ( , , , )
二、二次型的矩阵表示 那么 f(x,x2…,x)=∑∑a1x=xAx(84) 这就是二次型的矩阵表示式.因为
二、二次型的矩阵表示 记 = n n n n n n a a a a a a a a a A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 , , 2 1 = n x x x x 那么 f x x x a x x x Ax n i n j n i j i j = = = = 1 1 1 2 ( , ,, ) 这就是二次型的矩阵表示式．因为 ij ji a = a (i, j =1,2, ,n) （8.4）
所以A为对称矩阵 例如,二次型 f(x1,x2,x3)=3x1+2x2-5x2-2xx2+3xx3+4x2x3 的矩阵表示式为 3-1 fo X.X.x 任给一个二次型,就唯一地确定一个对称阵; 反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定 次型.这样,二次型与对称矩阵之间就存在
所以 A 为对称矩阵． 例如，二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 3x1 + 2x − 5x − 2x x + 3x x + 4x x 的矩阵表示式为 − − − = 3 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 1 2 2 3 1 ( , , ) ( , , ) x x x f x x x x x x 任给一个二次型，就唯一地确定一个对称阵； 反之，任给一个对称矩阵 ，也可唯一地确定一个二 次型．这样，二次型与对称矩阵之间就存在一
对应的关系.因此,表示式(84)中的对称矩阵A 称为二次型f(x,x2…x)的矩阵,f(x1,x2,…,x)称为 对称矩阵A的二次型.对称矩阵A的秩称为二次型 f(x1,x2,…xn)的秩
一对应的关系．因此，表示式（8.4）中的对称矩阵 A 称为二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的矩阵， ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为 对称矩阵 A 的二次型．对称矩阵 A 的秩称为二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的秩