3.4向量和矩阵的范数 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性,我们需要对R(n维 向量空间)中的向量或Rx中矩阵的“大 小”引入一种度量,—一向量和矩阵的范 数
3.4 向量和矩阵的范数 ◼ 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性，我们需要对Rn (n维 向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大 小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数
向量和矩阵的范数 在一维数轴上,实轴上任意一点x到 原点的距离用|x表示。而任意两点X, 之间距离用X2|表示
向量和矩阵的范数 ◼ 在一维数轴上，实轴上任意一点x到 原点的距离用|x|表示。而任意两点x1， x2之间距离用| x1 -x2 |表示
向量和矩阵的范数 而在二维平面上,平面上任意一点X)到 原点的距离用x2+y2=OP表示。而平面上 任意两点R(×,%,(场)的距离用 PE=y(x-x2)+(1-y2) 表示。推广到m维空间,则称为向量范数
向量和矩阵的范数 ◼ 而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到 原点的距离用 表示。而平面上 任意两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x2 ,y2 )的距离用 表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。 | | 2 2 x + y = OP 2 1 2 2 1 2 1 2 | P P |= (x − x ) + (y − y )
向量范数 定义3.4.1设任一向量X∈R",按某一确定的 法则对应于一非负实数‖x‖,且满足: 1)非负性:‖x≥0,当且仅当X=O时,‖Xl|=0 2)奇次性:‖X‖=k‖xk∈R, 3)三角不等式:对任意xy∈R",都有 x+y2|4‖x+‖12, 则称‖x‖为向量x的范数
向量范数 则称 为向量 的范数。 ， 三角不等式：对任意 都有 奇次性： 非负性： ，当且仅当 时， 法则对应于一非负实数 且满足 设任一向量 按某一确定的 x x R k k k R R x y x y x y x x x x x x x n n || || || || || || || || 3) , , 2) || || | ||| ||, ; 1) || || 0 0 || || 0; || ||, : 定义3.4.1 , + + = = =
常见的向量范数 设向量x=(x12x2…,xn) xC=∑|x x|2=(∑|x12)2=(x,x)2=(x X max了x2 1≤i<n
常见的向量范数 || || max{| |} || || ( | | ) ( , ) ( ) || || | | ( , ,..., ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 i i n T n i i n i i T n x x x x x x x x x x x x x x = = = = = = = = 设向量
向量范数性质 性质1对任意x,y∈R有‖x 性质2设x∈R",则向量范数‖C‖是分量 x12x2y,x的一致连续函数。 性质3对R中定义的任意两种范数‖·|l,|· 则必存在两正数m,M,使得 mx4xl≤M‖xVx∈R
向量范数性质 n n n n n m M R m M x x x R R x x x x x x x y x y x y − − || || || || || || , , 3 R || || ,|| || , , ,..., 2 , || || 1 1 2 则必存在两正数 使得 性质 对 中定义的任意两种范数 的一致连续函数。 性质 设 则向量范数 是分量 性质 对任意 ， 有
向量范数性质 等价性质 l)-‖x:x|2x 2)‖xx‖1≤H‖x‖ )‖x|Sxl2≤√mxl 例如:‖x=∑x圳x=mx{x1}s∑|x
向量范数性质 等价性质： = = = = n i i i i n n i i x x x n n n n n x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 2 1 1 1 | | || || max{| |} | | 1 || || 1 : 3) || || || || || || 2) || || || || || || || || || || || || 1 1) 例如
向量的收敛性 定义342设R中一向量序列{x6)}(k=1,2,),其中 x6={x1),x26)…,x)},如果存在x=(x,x2…,x2)∈R满足 k →0 则称向量序列{x6)}依次收敛到x,记作 limx=x k→∞ 如果有im‖xk-xC'|=0 则称向量序列{x6)}依范数‖·收敛到x
向量的收敛性 ( ) * * * ( ) * * * * 2 * 1 ( ) ( ) * 2 ( ) 1 ( ) ( ) { } || || lim || || 0 lim { } , lim ( 1,2,..., ) { , ,..., } , ( , ,..., ) 3.4.2 { } ( 1,2,...), x x x x x x x x x x x k k k k k k i k i k T n n k T n k k k n k x x i n x x x x x x R R k 则称向量序列 依范数 收敛到 如果有 则称向量序列 依次收敛到 记作 如果存在 满足 定义 设 中一向量序列 其中 − = = = = = = = → → →
定理341向量序列x6)}(k=1,2,)依 坐标收敛到x的充分必要条件是{x)}依范 数‖·收敛到x 事实上由 lim) 'll=0e lim max x( k)-x=0 k (k ◇lmnx k
lim ( 1,2,... ) lim || || 0 lim max 0 || || { } 3.4.1 { } ( 1,2,...) ( ) * ( ) 1 * * * ( ) ( ) x x i n x x k i k i k i k i k i n k k k k x x x x x x = = − = − = = → → → （ ） 事实上由 数 收敛到 。 坐标收敛到 的充分必要条件是 依范 定理 向量序列 依
3.4.2矩阵范数 定义3.43设任意A∈R若按某一确定的法则对 应于一非负实数A,且满足 1)非负性A|≥0,当且仅当A=0时,‖A|=0 2)奇次性:‖kA|=k‖A‖,k∈R 3)三角不等式:‖+B|⊥A+B,vA,B∈R 4)相容性酬4|B,A,B∈R", 则称‖A为R的一种范数
3.4.2 矩阵范数 则称 为 的一种范数。 相容性： ， ， 三角不等式： 奇次性： ， 非负性 ，当且仅当 时， 应于一非负实数 且满足 定义 设任意 若按某一确定的法则对 n n n n n n n n A R AB A B A B R A B A B A B R k A k A k R A A A A A R + + = = = || || 4) , 3) || || || || || ||, , ; 2) || || | ||| || ; 1) :|| || 0 0 || || 0; || ||, : 3.4.3