第一节、n阶行列式的定义 阶行列式:a1=a1 如,行列式_5=-5,3=3 二阶行列式:1 12 1122 1221 21 2 如,3 -6+3=-3 3 阶行列式:a1a2a3=a12n3+an2n1+a1a1a2 142332-a124213-413231
一阶行列式： a11 = a11 如，行列式 − 5 = −5， 3 = 3 二阶行列式： 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a = − 6 3 3 3 3 2 1 = − + = − − − 如， 三阶行列式： 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 第一节、 n阶行列式的定义 返 回 第 三 章
阶行列式计算式的记忆法 例如042=8+6+4=18 2全排列及其奇性 引例把3个不同的数字1、2、3排成一列,共有多少种 排法? 显然,左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个 ,所以有三种放法;中间位置上只能从剩下的两个数字 中选一个,所以有2种放法;右边位置上只能放最后剩 下的一个数字,所以只有1种放法 因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123, 231,312,132,213,321
三阶行列式计算式的记忆法 8 6 4 18 1 0 2 0 4 2 1 3 1 = + + = − − 例如 2.全排列及其奇性 引例 把3个不同的数字1、2、3排成一列，共有多少种 排法？ 显然，左边位置上可以从1、2、3三个数字中任选一个 ，所以有三种放法；中间位置上只能从剩下的两个数字 中选一个，所以有2种放法；右边位置上只能放最后剩 下的一个数字，所以只有1种放法． 因此共有3×2×1=6种放法.这6种不同的排法是123， 231，312，132，213，321
对于n个不同的元素,也可以提出类似的问题,把n个不 同的元素排列成一列,共有几种不同的排法? 把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列 (简称排列).一般,n个自然数1,2,,n的一个排列可以记 作 其中∵是某种次序下的自然数1,2,…,n.n个不同元素的所有 排列的种数,通常用P表示.由引例结果可知 B3=3.2.1 仿照引例的推导方式我们容易得到 n=n(n-1)…3·21=n! 对于n个不同的元素,先规定各元素间有一个标准次序 (例如n个不同的自然数,可规定自小到大为标准次序;此时 对应的排列称作自然排列),于是在这n个元素的任意排列中 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序 个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数,记 作
对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题，把n个不 同的元 素排列成一列，共有几种不同的排法？ 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列 （简称排 列）．一般,n个自然数1,2,…,n的一个排列可以记 作 n i i i 1 2 其中 是某种次序下的自然数 .n个不同元素的所有 排列的种数，通常用 表示.由引例结果可知 n i i i 1 2 1,2, ,n Pn P3 = 3 21 仿照引例的推导方式我们容易得到 P n n n n = ( −1)3 21 = 对于n个不同的元素，先规定各元素间有一个标准次序 （例如n个不同的自然数，可规定自小到大为标准次序；此时， 对应的排列称作自然排列），于是在这n个元素的任意排列中， 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序. 一个排列 中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数，记 作 n i i i 1 2 ！．
逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为 偶排列 下面我们通过一个例子,介绍利用排列的交叉图来计算排列 的逆序数的方法 例1排列83265147是偶排列还是奇排列? 解把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排 成平行的两行,连接上下两行所有相同元素(要避免出现三 条连线相交于一点的情况),得到排列的交叉图.那么,交叉 图中交点的个数就是排列的逆序数 47
( ) 1 2 n t i i i 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为 偶排列. 下面我们通过一个例子，介绍利用排列的交叉图来计算排列 的逆序数的方法. 例1 排列83265147是偶排列还是奇排列？ 解 把自然排列12345678及排列83265147的元素分别排 成平行的两行，连接上下两行所有相同元素（要避免出现三 条连线相交于一点的情况），得到排列的交叉图.那么，交叉 图中交点的个数就是排列的逆序数. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 3 2 6 5 1 4 7
由于图中有15个交点,t(83265147)=15.所以,83265147是奇 排列 在排列中,将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新 排列的变换称为对换.将相邻两个元素对换,称为相邻对换 从排列的交叉图可以看出,相邻对换使排列的逆序数增加1或 者减少1.由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现,所以 对换改变排列的奇偶性,即对换使奇排列变为偶排列,偶排列 变为奇排列 从而,当n1时,n个元素12…n的所有排列中,偶排列与奇 排列的个数相同 3.n阶行列式的定义 定义1设有n阶矩阵 作出矩阵中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号 (-1) 1(2…:in)
由于图中有15个交点，t(83265147)=15.所以，83265147是奇 排列. 在排列中，将任意两个元素交换位置其余的元素不动得到新 排列的变换称为对换．将相邻两个元素对换，称为相邻对换. 从排列的交叉图可以看出，相邻对换使排列的逆序数增加1或 者减少1.由于任意对换可以通过奇数次相邻对换来实现，所以 对换改变排列的奇偶性，即对换使奇排列变为偶排列，偶排列 变为奇排列. 从而，当n>1时，n个元素 的所有排列中，偶排列与奇 排列的个数相同. 1,2, ,n 3. n阶行列式的定义 定义1 设有n阶矩阵 作出矩阵中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) 1 2 ( 1) n t j j j −
得到形如 (-1) 1°2J2 的项,其中12…为n个自然数1,2,…,n的一个排列, (12…n)为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有 个,因此形如(1.2)式的项共有n! 项,所有这n!项的代数和 r(h/2…n) (1.3) J2 称为矩阵A的行列式,记作 12 D=LA
得到形如 (1.2) n n j j nj t j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) 的项，其中 为n个自然数 的一个排列， 为 这个排列的逆序数. 由于这样的排列共有n! 个 ， 因 此 形 如 （ 1.2 ） 式 的 项 共 有 n! 项，所有这n!项的代数和 n j j j 1 2 1,2, ,n ( ) 1 2 n t j j j (1.3) n j j j 1 2 n n j j nj t j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) 称为矩阵A的行列式，记作 n n n n n n a a a a a a a a a D A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = =
数a,称为行列式4的元素,(1.3)式称为行列式4的展开式 例2在8阶行列式的(a)展开式中,哪一项对应排列 83265147? 解由例1知排列83265147是奇排列,所以所求的项是 6107487 考虑行列式的任一项 (-1) 交换乘积中两元素的次序,行标排列与列标排列同时作 了相应的对换,则行标排列与列标排列的逆序数之和不改变 奇偶性 经过若干次这样的元素之间的交换,使列标排列 变为自然排列,行标排列相应地从自然排列变为某个新的排 列运…n,那么有 (-1) (h/2…n)
数 称为行列式 的元素，（1.3）式称为行列式 的展开式. aij A A 例2 在8阶行列式的 展开式中，哪一项对应排列 83265147？ 解 由例1知排列83265147是奇排列，所以所求的项是 考虑行列式的任一项 ( )ij a 18 23 32 46 55 61 74 87 − a a a a a a a a n j j nj t j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) 交换乘积中两元素的次序，行标排列与列标排列同时作 了相 应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和不改变 奇偶性． 经过若干次这样的元素之间的交换，使列标排列 变 为自然排列，行标排列相应地从自然排列变为某个新的排 列 ，那么有 n j j j 1 2 n i i i 1 2 n n j j nj t j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) i i i n t i i i n n a a a 1 2 ( ) 1 2 1 2 = (−1)
反之,形如(-1ana12a1n的项经过若干次元素之间的交 换可以变为 由此可得行列式的另一等价定义: 矩阵的阶行列式也可定义为 D=A=2-a1a2 h142…ln 其中2x…为n个自然数12…,n的一个排列,(i2…i为 排列的逆序数 行列式按行(列)展开 在阶行列式中把元素所在的第行及第列划去后留下的 n-1阶行列式称为元素的余子式记作Mn;M冠以符号
反之，形如 的项经过若干次元素之间的交 换可以变为 由此可得行列式的另一等价定义： i i i n t i i i n n a a a 1 2 ( ) 1 2 1 2 (−1) n n j j nj t j j j a a a 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) 矩阵的阶行列式也可定义为 其中 为n个自然数 的一个排列， 为 排列的逆序数． = = n i i i D A 1 2 i i i n t i i i n n a a a 1 2 ( ) 1 2 1 2 (−1) n i i i 1 2 1,2, ,n ( ) 1 2 n t i i i n i ,i , i 1 2 4. 行列式按行（列）展开 在阶行列式 中,把元素所在的第i行及第j列划去后,留下的 阶行列式称为元素 的余子式. 记作 ； 冠以符号 aij n −1 ij a Mij Mij
(-1)/得4=(-myM,称4为元素的代数余子式 例如三阶行列式 D 中元素a32的余子式与代数余子式分别为 13 定理1设A=)是n阶矩阵,D=A,那么 (1)D=an1A1+a242+…+anAn(i=1,2,,m) (2)D=a,4+a141+…+a n). 于是,行列式等于它们的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和
得 , 称 为元素 的代数余子式. i+ j (−1) ij i j Aij M + = (−1) Aij ij a 例如三阶行列式 中元素 的余子式与代数余子式分别为 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = 32 a 21 23 11 13 32 a a a a M = 32 32 3 2 32 A = (−1) M = −M + 定理1 设 是n阶矩阵， = ，那么 （1） ( )； （2） ( )． 于是，行列式等于它们的任一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和． ( )ij A = a D A D = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 ++ ai nAi n i = 1,2,...,n j j j j njAnj D = a A + a A ++ a 1 1 2 2 j =1,2,...,n
推论1如果n阶矩阵a)中有两行(或列)相同,那 么行列式 D=4=0 推论2设A=(a)是n阶矩阵P=4且≠,那么 (1)a441+a2A2,+…+anAn=0 2) a1An+a,A,+…+anA,=0 n 例3证明上三角形行列式 D
推论1 如果n阶矩阵 中有两行（或列）相同，那 么行列式 ( ) ij A = a D = A = 0 推论2 设 是n阶矩阵， 且 ，那么 (1) ； (2) ． ( ) A = aij D = A i j 0 ai1 Aj1 + ai2 Aj2 ++ ai nAj n = 0 a1i A1 j + a2i A2 j ++ aniAnj = 例3 证明上三角形行列式 n n n n n n a a a a a a a a a D 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 = =