成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（试卷习题）模拟试题（五）

线性代数模拟试题(五) 试卷说明:A表示矩阵A的转置矩阵,A'表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,4表示 方阵A的行列式。 第一部分选择题(共20分) 单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 对任意n阶方阵A、B总有() AAB=BA B ABBAl C(AB)=AB D (AB)=A-B- 2.在下列矩阵中,可逆的是() 000 10 A.|010 B D.|111 12 3.设A是3阶方阵,且4=-2,则A等于() B D.2 4.设A是m×n矩阵,则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是() AA的行向量组线性无关 BA的行向量组线性相关 C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关 5.设有m维向量组(1):a1,a2;…;an,则() A.当mn时,(1)定线性相关 C.当mn时,()一定线性无关 D.当m>n时,()一定线性相关 6.已知B1、B2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,a1、a2是其导出组Ax=0的 一个基础解系,k、k为任意常数,则方程组Axb的通解可表成() A ka +k,(B +B,+B1-B2 B k, +k, (B +B,)+B:+B2 C.k11+k2a,+ B1-B2 B1+B2 a,t k,a,+ 7.设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2,对应的特征向量为x,则下列等式中不正确的是

线性代数模拟试题 (五) 试卷说明：A T表示矩阵 A 的转置矩阵，A *表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示 方阵 A 的行列式。 第一部分 选择题 （共 20 分） 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．对任意 n 阶方阵 A、B 总有（ ） A.AB=BA B.|AB|=|BA| C.(AB) T=A TB T D.(AB) 2=A 2B 2 2．在下列矩阵中，可逆的是（ ） A.           0 0 1 0 1 0 0 0 0 B.           0 0 1 2 2 0 1 1 0 C.           1 2 1 0 1 1 1 1 0 D.           1 0 1 1 1 1 1 0 0 3．设 A 是 3 阶方阵，且|A|=-2，则|A -1 |等于（ ） A.-2 B. 2 1 − C. 2 1 D.2 4．设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充分必要条件是（ ） A.A 的行向量组线性无关 B.A 的行向量组线性相关 C.A 的列向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关 5．设有 m 维向量组(I)： 1 2 n  , ,    , ，则（ ） A.当 mn 时，(I)一定线性相关 C.当 mn 时，(I)一定线性相关 6．已知  1、  2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1、 2 是其导出组 Ax=0 的 一个基础解系，k1、k2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解可表成（ ） A. 2 ( ) 1 2 1 1 2 1 2      − k + k + + B. 2 ( ) 1 2 1 1 2 1 2      + k + k + + C. 2 1 2 1 1 2 2     − k + k + D. 2 1 2 1 1 2 2     + k + k + 7．设 n 阶可逆矩阵 A 有一个特征值为 2，对应的特征向量为 x，则下列等式中不正确 ．．．的是

BA-Lx==x CAxa D. A2x=4x 8.设矩阵A=121的秩为2,则λ=() 23λ+1 C.0 D.-1 9.二次型f(x1,x2,x3)=x2+3x2-4x2+6x1x2+10x2x3的矩阵是() 160 A.330 B.0310 50-4 00-4 130 160 010-4 10.二次型f(x12x2x3)=(x1-x2-x3)2+(x2+x3)2+2x3是() A.正定的 B.半正定的 C.负定的 D.不定的 第二部分非选择题(共80分) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.行列式123的值为 12.设向量a=(2,1,2),则它的单位向量为 13.设a=(2,1-2),B=(12,3),则2a-3B= 14.向量组a=(1,2,345)的秩为 15.设mxn矩阵A的m个行向量线性无关,则矩阵A的秩为 16.若线性方程组{2x2-x3=2无解,则 17设2阶方阵A=[a1,B,B={a2,B,其中a1,a2,B均为2维列向量,且4|=|B=1,则4B

（ ） A.Ax=2x B.A -1x= 2 1 x C.A -1x=2x D. A 2x=4x 8．设矩阵 A=           2 3  +1 1 2 1 1 1 1 的秩为 2，则  =（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 9．二次型 1 2 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3x − 4x + 6x x +10x x 的矩阵是（ ） A.           5 0 − 4 3 3 0 1 3 5 B.           0 0 − 4 0 3 10 1 6 0 C.           0 5 − 4 3 3 5 1 3 0 D.           0 10 − 4 6 3 10 1 6 0 10．二次型 2 3 2 2 3 2 f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 − x3 ) + (x + x ) + 2x 是（ ） A.正定的 B.半正定的 C.负定的 D.不定的 第二部分 非选择题 （共 80 分） 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．行列式 2 3 4 1 2 3 0 1 2 的值为 . 12．设向量  = (2,1,2) ，则它的单位向量为 . 13．设  = (2,1,−2), = (1,2,3), 则 2 − 3 = . 14．向量组  = (1,2,3,4,5) 的秩为 . 15．设 m  n 矩阵 A 的 m 个行向量线性无关，则矩阵 A T的秩为 . 16．若线性方程组       =  + − = − + = − 2 2 2 2 3 1 3 2 3 1 2 3 x x x x x x 无解．．，则  = . 17．设2阶方阵 [ , ], [ , ] A = 1  B =  2  ，其中  1 , 2 ,  均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=

8.设矩阵A=010,则A的全部特征值为 19.设P为n阶正交矩阵,a、B为n维列向量,(a,B=-1),则(Pa,PB)= 20.设二次型f(x1,x2,x3)=x2+x2-2x3+2x1x2的正惯性指数为P,负惯性指数为q,则 p-q 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 21.设向量a=(11.B=(-1-111),求aB,aB 22.设A=020,矩阵X满足方程AX+E=A2+X,求矩阵X 101 23.当t取何值时,向量组(1,2,-1,1),(2,0,0),(0,-4,5,-2)线性相关? 24.求下列矩阵的秩 矩阵P(1)D(0y,知阵A由矩阵方程PP=D确定,试求 26.求线性方程组{x1+x2+2x3=3的通解 x1+x2+3x3=4 (要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示) 27.设3阶方阵A的三个特征值为入1=1,2=0,3=-1,A的属于入1A2,A3的特征向量依 次为a1=0,a2 a2=2,求方阵A 28.设f(x,y,z)=x2+2y2+4z2+2ay+2yz为正定二次型,试确定实数a的最大取值范围 四、证明題(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 29.设矩阵A可逆,证明(A)-=4A 30.设向量B可由向量组ax1,a2,a3线性表示试证明:线性表示法唯一的充分必要条件是 a1,a2,a3线性无关

18．设矩阵           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A ，则 A 的全部特征值为 . 19．设 P 为 n 阶正交矩阵，  、  为 n 维列向量，（ ,  = −1 ），则 (P, P ) = . 20．设二次型 1 2 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x − 2x + 2x x 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，则 p-q= . 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，共 48 分） 21．设向量  = (1,1,−1,−1), = (−1,−1,1,1) ，求    T T , . 22．设 A=           1 0 1 0 2 0 1 0 1 ，矩阵 X 满足方程 AX+E=A 2+X，求矩阵 X. 23．当 t 取何值时，向量组(1,2,-1,1)T，(2,0,t,0)T，(0,-4,5,-2)T线性相关？ 24．求下列矩阵的秩 A=               − − − − − − 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 1 1 1 2 25．设矩阵        − =        − − = 0 2 1 0 , D 1 1 1 4 P ，矩阵 A 由矩阵方程 P AP = D −1 确定，试求 5 A . 26．求线性方程组      + + = + + = + + = 3 4 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 的通解. （要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）. 27．设 3 阶方阵 A 的三个特征值为 1 =1,2 = 0,3 = −1，A 的属于 1 2 3  , , 的特征向量依 次为           =           =           = 5 2 0 , 2 1 0 , 0 0 2 1  2  3 ，求方阵 A. 28．设 f(x, y, z) x 2y 4z 2axy 2yz 2 2 2 = + + + + 为正定二次型，试确定实数 a 的最大取值范围. 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 29．设矩阵 A 可逆，证明（A *）-1=|A -1 |A. 30．设向量  可由向量组 1 2 3  , , 线性表示.试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是 1 2 3  , , 线性无关