成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第五章 n维向量空间（5.1）向量与向量空间

§1向量与向量空间 一、三维向量空间 二、n维向量 三、向量空间及其子空间

§1 向量与向量空间 一、三维向量空间 三、 向量空间及其子空间 二、 n维向量

§1向量与向量空间 三维向量空间 任取一个空间直角坐标系,e23是它的单位坐标向量 任意向量a关于单位坐标向量的分解式为 a=ae1ta2e2ta3e3 其中a、a2、a3分别是向量a在x轴、y轴、z轴上的投影 此时,向量a的坐标表示式为 a aI.ao. d 像a=(a1,a2,a3)这样的由三个数组成的有序数组, 称为三维向量,a1称为向量a的第讠个分量

§1 向量与向量空间 任取一个空间直角坐标系，1 2 3 e 、e 、e 是它的单位坐标向量． 任意向量 a 关于单位坐标向量的分解式为 1 1 2 2 3 3 a  a e  a e  a e 其中 a1 、a2 、a3 分别是向量 此时，向量 a 的坐标表示式为   1 2 3 a  a , a , a a 在 x 轴、y 轴、z 轴上的投影． 像   1 2 3 a  a , a , a 这样的由三个数组成的有序数组， 称为三维向量，ai 称为向量 a 的第 i 个分量． 一、三维向量空间

我们还定义了向量的加法及数乘,它们的坐标表示式分别为 a+b=(an2a2,a3)+(b1,b2b3)=(a1+b,a2+b2,a3+b3) a a,ao.d 其中向量b=(b1,b2b 我们知道向量的加法及数乘应满足下列八条运算规律 (1)a+b=b+a a+b)+c=a+(b+c (3)存在三维零向量0,使对任意向量a,都有 a+0=a

我们还定义了向量的加法及数乘,它们的坐标表示式分别为       1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a  b  a , a , a  b ,b ,b  a  b , a  b , a  b     1 2 3 1 2 3 a   a , a , a  a ,a ,a 其中向量   1 2 3 b  b , b , b 我们知道向量的加法及数乘应满足下列八条运算规律： （1） a  b  b  a （2） a  b   c  a  b  c  （3） 存在三维零向量 0 ，使对任意向量 a ，都有 a  0  a

(4)对任意向量a,都存在它的负向量-a,使得 a+(-a)=0 (5)1a=a (6)(∠a)=(24)a 7)4(a+b)=Aa+b (8)(2+a=a+a 其中元是任意实数,abc是任意n维向量

（4） 对任意向量 a ，都存在它的负向量  a ，使得 a   a  0 （5） 1a  a （6）   a    a （7） a  b  a  b （8）   a  a  a 其中 、  是任意实数， a b c 是任意 n 维向量． 、

对于由所有三维向量(xy,=)组成的(非空)集合, 按我们所定义的加法与数乘满足上述八条运算规律, 我们称这个集合对于所定义的加法与数乘构成一个 三维向量空间,记作R3

对于由所有三维向量 x, y,z 组成的（非空）集合， 按我们所定义的加法与数乘满足上述八条运算规律， 我们称这个集合对于所定义的加法与数乘 记作 3 R 构成一个 三维向量空间

二、n维向量 现在我们把三维向量空间推广到n维向量空间 定义1n个数a1,a2,…,a组成的有序数组称为n 维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i个数 1称为它的i个分量 分量仝为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量 称为复向量.本书中只讨论实向量. n维向量可以写成一行,也可以写成一列,分别 称为行向量与列向量,也就是行矩阵与列矩阵.因此

分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量 称为复向量．本书中只讨论实向量． n 维向量可以写成一行，也可以写成一列，分别 称为行向量与列向量，也就是行矩阵与列矩阵． 因此， 二、 n 维向量 现在我们把三维向量空间推广到 n 维向量空间． 定义1 n个数 n a ,a , ,a 1 2  组成的有序数组称为 n 维向量，这 n个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 i a 称为它的 i 个分量．

n维列向量a= 与n维行向量 a,a 总看成是两个不同的向量(按定义1,a与a应是 同一向量) 从现在开始,列向量用黑体小写字母a,b,a,B 等表示,行向量则用a,b,a,B等表示.所讨论的 向量在没有指明是行向量还是列向量时,都当作列向量

从现在开始，列向量用黑体小写字母 a,b,α,β 等表示，行向量则用     a ,b ,α ,β 等表示．所讨论的 向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量． 与 n 维行向量   n a , a , , a a   1 2  总看成是两个不同的向量（按定义1 ，a 同一向量）． 应是 n 维列向量        an a a  2 1 a 与  a

设两个n维向量a=(a1a2…an)与b=(b,b2…,bn) 如果它们对应的分量都相等,即a1=b(=1,2,…,n),那么 称向量a与b相等,记作a=b 定义零向量0=(00,…0),向量a的负向量 记R"为由所有n维实向量组成的集合,并按下列 规则在R”中定义向量的加法与数乘(统称向量的 线性运算):

设两个 n 维向量     n a ,a , ,a a 1 2  与     n b ,b , ,b b 1 2  如果它们对应的分量都相等，即 a b i n i i   1,2,, a 与 b 相等 ，记作 a  b 定义零向量    0  0,0,,0 a 的负向量         n a , a , , a a 1 2  ，向量 ， 那么 称向量 记 n R 为由所有 n 维实向量组成的集合，并按下列 规则在 n R 中定义 向量的加法与数乘（统称向量的 线性运算）：

a+b=(a1,a2…;an)+(b1,b2…,bn)=(a1+b,a2+b2…,an+b na=n(a, a2," ,a, )=(a,na 其中a=(a1a2…a),b=(b,b2…bn),为实数 容易看出,向量的加法与数乘运算实质上 按矩阵的加法与数乘运算的定义进行的,而矩阵的 加法与数乘满足相关的运算规律.所以,向量的 加法与数乘应满足下列八条运算规律: (1)a+b=b+a (5.1)

           n  n    n  n a ,a , ,a b ,b , ,b a b ,a b , ,a b a b 1 2  1 2  1 1 2 2         n  n   a ,a , ,a a ,a , ,a a 1 2  1 2  其中     n a ,a ,a 1 2 a ，     b b bn , , b 1 2 ， 为实数． 容易看出，向量的加法与数乘运算实质上 按矩阵的加法与数乘运算的定义进行的，而矩阵的 加法与数乘满足相关的运算规律． 所以， 向量的 加法与数乘应满足下列八条运算规律： （1） a  b  b  a （5.1）

(2)(a+b)+c=a+(b+c) (52) (3)存在n维零向量0使对Rn中任意向量 a,都有a+0=a (53) (4)对R”中的任意向量a,在Rn中都存在 它的负向量-a,使得a+(a)=0(54) (5)1a=a (55) (6)2(a)=(a (56) (7)A(a+b)=Aa+4b (5.7)

（2） a  b c  a  b  c （5.2） （3） 存在 n 维零向量 0 使对 n R a ，都有 a  0  a （5.3） （4） 对 n R 中的任意向量 a ，在 n R 它的负向量 a，使得 a   a  0 （5.4） （5） 1a  a （5.5） （6） a  a （5.6） （7） a  b  a  b （5.7） 中任意向量 中都存在