成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第一章 矩阵（1.3）分块矩阵及其运算

第三节分块矩阵及其运算 1分块矩阵的概念 对于矩阵A,采用一种分法,即用若干条纵线和横线分成 些小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形 式上的矩阵称为分块矩阵.在进行行数与列数较大的矩阵 的运算时,常将矩阵分块,以便使运算简化 例如3×4矩阵 1a12a13al14 4 31a32a33434 分成子块的分法很多,下面举出其中的三种分法 2

1. 分块矩阵的概念 对于矩阵A，采用一种分法，即用若干条纵线和横线分成一 些小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形 式上的矩阵称为分块矩阵 ．在进行行数与列数较大的矩阵 的运算时，常将矩阵分块，以便使运算简化． 例如 3×4矩阵 分成子块的分法很多，下面举出其中的三种分法． （1） ，           = 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a A               31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a         第三节 分块矩阵及其运算

(2) 12 13 14 24 由分法(1)可以得出22的分块矩阵 其中 2 13 11 C 2122 324 C

（3） ．           31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a          （2） ，               31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a         由分法（1）可以得出22的分块矩阵 其中         = 21 22 11 12 A A A A A         = 21 22 11 12 11 a a a a A         = 23 24 13 14 12 a a a a A ( ) A21 = a31 a32 ( ) A22 = a33 a34

即A1 5412,421,422 为A的子块,而A是以这些子块为元素的形 式上的矩阵.类似地,也可以写出对应于分法(2)及(3) 的分块矩阵.矩阵分块时,要适当地选择分法,使一些子块 为便于运算的特殊矩阵,如单位矩阵,零矩阵,上(下)三 角形矩阵等 例如,对矩阵 002 A=0 选择如下的分法 10 02 01 A 00 便可以得分块矩阵 A=

即 为A的子块，而A是以这些子块为元素的形 式上的矩阵．类似地，也可以写出对应于分法（2）及（3 ） 的分块矩阵．矩阵分块时，要适当地选择分法，使一些子块 为便于运算的特殊矩阵，如单位矩阵，零矩阵，上（下）三 角形矩阵等． 例如，对矩阵 11 12 21 22 A , A , A , A           = − 0 0 4 1 0 1 1 3 1 0 0 2 A 选择如下的分法 便可以得分块矩阵               − = 0 0 4 1 0 1 1 3 1 0 0 2         A         = 12 2 2 1 A I A A 0

其中A1 还有一些常用的分块矩阵,我们介绍其中的几种 在矩阵A=(qn) 中,以它的行为子块,可得m×1 h×n 分块矩阵 其中 2

其中   , ．       − = 1 3 0 2 A1 (4 1) A2 = 还有一些常用的分块矩阵 ，我.们介绍其中的几种． 在矩阵 中，以它的行为子块,可得 分块矩阵 , ( ) m n ij A a  = m1               = m 2 1 a a a  A 其中 , . ( ) ai = ai1 ai2  ai n (i =1,2,  ,m)

在矩阵A=)n中,以它的列为子块,可得1×n分块矩阵 其中b1=(aa2 ),(=12,…n) 设A为n阶矩阵,如果A的主对角线上的子块都是矩阵,其 余子块都是零矩阵,即 其中A(=12,…s)都是方阵,那么A称为分块对角 矩阵(或者准对角矩阵) 显然,对角矩阵是特殊的分块对角矩阵

在矩阵 中 ,以它的列为子块，可得 分块矩阵 ， 其中 ， ． 设A为n阶矩阵，如果A的主对角线上的子块都是矩阵，其 余子块都是零矩阵，即 其中 都是方阵，那么 A称为分块对角 矩阵（或者准对角矩阵）． 显然，对角矩阵是特殊的分块对角矩阵． ( ) m n ij A a  = 1 n ( ) A b b bn , , , = 1 2  ( )  bj = a1 j a2 j  amj ( j =1,2,  ,n)               = As A A A  2 1 A (i s) i =1, 2, 

2.分块矩阵的运算 分块矩阵的运算与普通矩阵的运算类似,分别叙述如下: (1)设矩阵A与B是同型的矩阵,对它们采用相同的分法,有 B B B B 其中An与B。为同型矩阵 那么 (i=1,2, A1+B1 41r+B1 A+B As+Bs +B 2)设 A1 ZA1 A=: ,为数,那么

2. 分块矩阵的运算 分块矩阵的运算与普通矩阵的运算类似，分别叙述如下： (1)设矩阵A与B是同型的矩阵，对它们采用相同的分法，有           = s sr r A A A A A      1 11 1           = s sr r B B B B B      1 11 1 ， 其中 Aij 与 Bij 为同型矩阵 ，那么 (i =1,2,  ,s; j =1,2,  ,r)           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B      1 1 11 11 1 1 (2) 设 , 为数，那么           = s sr r A A A A A      1 11 1            = s sr r A A A A A           1 11 1

(3)设A为m×l矩阵,B为l×n矩阵,分别给A与B一种分法, 得 B A B sI 其中A,42…,An的列数分别等于B1,B2y,…B的行数, 那么 AB 其中

(3) 设A为 矩阵，B为 矩阵 ，分别给A与B一种分法， 得 ml l  n           = s st t A A A A A      1 11 1           = t t r r B B B B B      1 11 1 其中 的列数分别等于 的行数， 那么 ， 其中 ． Ai Ai Ait , , , 1 2  B j B j Btj , , , 1 2            = s sr r C C C C AB      1 11 1 =  = t k Cij Aik Bkj 1 (i =1,2,  ,s; j =1,2,  ,r)

例12设矩阵 1000 0100 B 1210 110 求AB 解分别把A、B分块成 0 0 00 0010 0 0001 B B. B 10 104 20

例12 设矩阵               − = 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A               − − = 1 1 2 0 1 0 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 B 求 AB ． 解 分别把A、B分块成         =                 − = A I I A 1 1 1 0 1 1 2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0                  =               − − = 1 2 1 1 2 0 1 0 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 B B I B 0

Ⅰ0/0 那么 AB A人BB)(B1A+B2 而 A 1tB 0)(3 O O 01 从而 AB 00.0 例13设分块对角矩阵(4 B A B 具有相同的分法,即与A为B(=12,…,s)同型矩阵,求AB

那么 而 从而         + =                = 1 1 2 B1 A1 B2 I B B I A I I AB 0 0 0         =        +       − + = 3 1 3 3 2 0 4 1 1 1 1 2 A1 B2                 − − = 1 1 3 1 1 0 3 3 0 0 0 1 0 0 1 0          AB 例13 设分块对角矩阵 具有相同的分法，即与 为 同型矩阵，求 ．               = As A A A  2 1               = Bs B B B  2 1 Ai Bi (i =1,2,  ,s) AB

解由分块矩阵的乘法,得 BI A B1 B2 AB AB (4)设 则 5)设分块对角矩阵 那么A为可逆矩阵的充分必要条件是所有4(=12,…,s)都是 可逆矩阵,并且当A为可逆矩阵时,有

解 由分块矩阵的乘法，得               =                             = s s As Bs A B A B B B B A A A AB    2 2 1 1 2 1 2 1 （4）设           = s sr r A A A A A      1 11 1           =  T sr T r T s T A A A A A      1 11 1 （5）设分块对角矩阵               = As A A A  2 1 那么A为可逆矩阵的充分必要条件是所有 都是 可逆矩阵，并且当A为可逆矩阵时，有 A (i s) i =1,2,  , ，则